La definición más simple de la geometría elemental ¿no es acaso la de « punto » ? Desde la época de la escuela primaria se tiene la idea intuitiva de un punto marcado con un bolígrafo sobre un papel o con una tiza sobre una pizarra... es solo un « punto »… ; si yo coloco un punto después de otro y otro y otro, tendría un segmento...

Pero no... A pesar de esta evidencia, Aristóteles muestra que esta definición de segmento (que él llama « continuo ») conduciría a una contradicción :

es imposible que un continuo sea formado por indivisibles, por ejemplo, que una línea sea formada por puntos...

Aristóteles, La Física

Para mostrar esta paradoja, Aristóteles da las definiciones de « continuo » (aquello cuyas extremidades son una misma cosa), « contacto » (aquello cuyas extremidades están juntas), « consecutivo » (aquello entre lo cual no hay ningún intermediario del mismo tipo). Él refuta sucesivamente la posibilidad de que los puntos formen un continuo, de estar en contacto y de ser consecutivos, desarrollando una especie de punto de vista « topológico » acerca de la recta.

Pero entonces, el punto no puede tener ninguna dimensión.

El punto es aquel cuya parte es nula

escribe Euclides en Los Elementos, e incluso bien al principio [1] para escapar de la paradoja de Aristóteles (la « parte » se refiere aquí la dimensión). Pero entonces ¿qué es un « punto » ? Hace falta, parece, liberarse de la intuición, del bolígrafo y de la tiza para definirlo.

Yo he reflexionado de nuevo muy largamente acerca de este pequeño objeto, que esencialmente no tiene nada de “pequeño”. Me había hecho una “definición” que no hacía intervenir la pequeñez, y que no tendré la imprudencia (ni el coraje) de enunciárselo.

Carta de Paul Valery a Tullio Levi-Civita, París, 18 de septiembre de 1934

Uno podría tratar de cambiar el punto de vista mirando el « punto » como el auténtico generador de una línea (curva o recta) : el motor que, a través de su movimiento, da lugar a todas las curvas geométricas. Para desarrollar la idea de « punto » como elemento generador, Levi-Civita moviliza otros conceptos, a veces complicados, como la noción de « tiempo ».

Entre [nuestras representaciones mentales] más simples, está la imagen del movimiento de un punto geométrico. Esta imagen es una abstracción, a la cual se llega a través de la lógica pura introduciendo los postulados geométricos usuales y el concepto primitivo de tiempo.

T. Levi-Civita, 1934 [2]

Pero entonces, ¿de dónde viene el « punto » ?

Ese punto de vista tradicional es genético : las líneas se engendran [en el tiempo, diría Levi-Civita]. El punto de vista moderno es ontológico : los puntos preexisten y son sin identidad propia.

P. Cartier, « La jornada loca, de Grothendieck a Connes y Kontsevich. Evolución de las nociones de espacio y de simetría » [3]

Para regresar a la pregunta original « ¿qué es un punto ? », nada mejor que dejar la palabra al « punto » para que él nos explique por sí mismo lo que verdaderamente es...

Yo no soy sino el fruto tal vez
De dos líneas que se encuentran.

Yo no tengo nada.

Se dice : partir del punto,
Y llegar.

Yo no sé nada.

¿Pero quién
me borrará ?

Guillevic, « Point », Euclidiennes, Paris, Gallimard, 1967

La figura al comienzo de este artículo es una ilustración extraída del libro de Guillevic [4]. Los aficionados de la « geometría algebraica real » apreciarán esta imagen : las dos rectas punteadas que se cortan en un punto —que no está punteado (¡ !— les evocarán dos rectas imaginarias (conjugadas) que se cortan en un punto real.

Para concluir, citemos a Robert Desnos. Este último, en un poema escrito para Daniel, el hijo del compositor Darius Milhaud, pone en relación el « punto » con el « tiempo » y el « espacio » :

Por un punto situado sobre un plano
No se puede hacer pasar sino una perpendicular a ese plano.
Se dice eso...
Pero por todos los puntos de mi propio plano
Se puede hacer pasar a todos los hombres, a todos los animales de la tierra
Así que su perpendicular me hace reír.
Y no solamente a los hombres y a las bestias
Sino incluso muchas cosas
 
Piedras
Flores
Nubes
A mi padre y a mi madre
Un barco a velas
Un cañón de estufa
Y si me da la gana
Cuatrocientos millones de perpendiculares.

Robert Desnos, « La geometría de Daniel », 1939