Artur Avila, Medalla Fields 2014

Piste noire Le 26 février 2015  - Ecrit par  Étienne Ghys, avec la participation de Marc Monticelli pour les simulations
Le 5 mars 2022  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Article original : Artur Avila, médaille Fields 2014 Voir les commentaires
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Esta publicación ’’extendida’’ de Artur Avila, Medalla Fields 2014, escrita por Étienne Ghys retoma el artículo original publicado el 13 de agosto de 2014, al cual se agregan las simulaciones digitales interactivas realizadas por Marc Monticelli​.

Artur Avila recibió la Medalla Fields por sus trabajos en sistemas dinámicos.

Artur nació en 1979 en Rio de Janeiro.
Presentó una tesis a los 21 años (es decir 5 o 6 años antes que el promedio) bajo la dirección de Welington de Melo, en el IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), también en Rio.
Habría sido difícil encontrar un mejor lugar para desarrollar el tipo de matemáticas que practica Artur.
Fundado hace 60 años, el IMPA se convirtió en uno de los mejores institutos del mundo para el estudio de los sistemas dinámicos.
Una Medalla Fields no puede florecer sino en un terreno favorable.
La primera Medalla Fields en Sudamérica le debe mucho a este instituto.

Muy joven, Artur viajó a París y el CNRS [1] le ofreció un puesto de encargado de investigación en 2003.
Ahí pudo encontrar un enfoque diferente de las matemáticas.
En 2008 fue promovido a director de investigación en el CNRS, antes de sus treinta años, lo que es absolutamente excepcional.

Hoy en día, divide su tiempo entre el IMPA y el Institut Mathématique de Jussieu.
Además tiene doble nacionalidad, brasileña y francesa.
Un ejemplo de colaboración internacional que funciona perfectamente.

Aunque aún es muy joven, ya tiene tras de sí una obra considerable.
Los medios de comunicación entre matemáticos han evolucionado mucho desde hace una decena de años y el trabajo de Artur lo ilustra perfectamente.
Hoy, Internet ha cambiado la vida de los investigadores, que pueden comunicarse instantáneamente y consultar inmensas bases de datos sin salir de sus casas.
Casi todos los artículos de Artur son escritos con colaboradores alrededor de todo el planeta.
Una cuarentena de coautores.
¡Se puede pensar que Artur es un gran usuario de Skype !

Es completamente imposible entregar un panorama de su trabajo en pocas páginas, sin quedarse en un nivel elemental.

Los sistemas dinámicos

La dinámica es una ciencia muy antigua.
Fue sobre todo Newton quien permitió darle un carácter predictivo gracias al cálculo diferencial e integral.
Si uno conoce las fuerzas que actúan sobre un sistema (por ejemplo la gravitación que afecta a los planetas) puede escribir una ecuación diferencial que rige el movimiento.
Los matemáticos y los físicos han buscado, por lo tanto, resolver esas ecuaciones diferenciales.
Los matemáticos piensan a menudo que escribir una ecuación en general es fácil, pero resolverla es otra cosa.
El cálculo diferencial se revela asombrosamente eficaz.
Se puede pensar por ejemplo en el descubrimiento del planeta Neptuno por Adams y Le Verrier en 1846, gracias al cálculo diferencial, ’’con la punta de la pluma’’, como dijo Arago.

Hacia fines del siglo XIX, Poincaré tomó conciencia de que, en la mayoría de los casos, es imposible encontrar una fórmula para las soluciones de una ecuación diferencial.
La teoría del caos nació en esa época.
En vez de tratar de encontrar fórmulas que describan el movimiento (por ejemplo de los planetas), se buscaba más bien responder a preguntas cualitativas, sin pasar por fórmulas exactas.
Por ejemplo, nuestro sistema solar ¿es estable ?
Dicho de otra forma, ¿el sistema solar se mantendrá cualitativamente parecido a sí mismo o bien un planeta podría ser eyectado o entrar en colisión con otro ?

En los años 1960 se tomó conciencia progresivamente de otro fenómeno.
El físico nunca conoce con exactitud las fuerzas que actúan, ya que siempre hay pequeñas cantidades que uno está llevado a despreciar, como las fricciones, por ejemplo.
Esas cantidades son tal vez despreciables, pero en el largo plazo pueden afectar el movimiento de manera importante.
Para simplificar, se puede decir que se trata del enfoque de Smale y Thom : la ecuación diferencial que se procura estudiar solo es conocida aproximadamente, y se trata de describir en forma cualitativa la naturaleza de sus soluciones.

La mayoría de los trabajos de Artur Avila giran en torno a esta pregunta muy general :

¿Cuál es el comportamiento cualitativo de un sistema dinámico típico ?

Yo citaré sólo dos resultados, que dan una muy débil imagen de su trabajo.

Dinámica en dimensión 1

La dinámica estudia la evolución de un ’’sistema’’ en el tiempo.
En la práctica, se dispone de un espacio $X$, que en el caso más simple puede ser un intervalo $[0,1]$, y de una aplicación $f : X \to X$.
Se parte de una posición inicial $x_0$ en $X$.
Un segundo después el punto se encuentra en $x_1=f(x_0)$.
Dos segundos después se encuentra en $x_2=f(x_1)= f^2(x_0)$.
Y así sucesivamente.
La teoría busca comprender la naturaleza de la secuencia $x_n=f^n(x_0)$, que se llama la órbita o la trayectoria de c, cuando el ’’tiempo’’ $n$ tiende al infinito.

Por ejemplo, escojamos un número real $r$ comprendido entre $0$ y $4$ y consideremos la aplicación
\[ f_r(x) = r x (1-x). \]
Para cada valor de $r$, se puede escoger un valor de $x_0$ y calcular su trayectoria con un computador o una calculadora.
Esto es lo que se obtiene para $r=3,2$ y para $r=3,8$.

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Se ve que los comportamientos son muy distintos.
En el primer ejemplo, la trayectoria se acerca a lo que se llama un punto periódico, aquí de período $2$.
Si se espera suficiente tiempo, el sistema parece oscilar entre dos posiciones, para los tiempos pares e impares.
Se dice que ese comportamiento es regular : nada grave.

El segundo caso es muy diferente.
La trayectoria se ve imprevisible y caótica.
No parece que se vuelva periódica.
Se distribuye en el intervalo según una cierta ley de repartición que parece independiente de la condición inicial.
La dinámica es caótica y complicada, pero una única e igual distribución permite describir casi todas las trayectorias.
El caos es de alguna manera dominado : se habla de estabilidad estocástica.

Haga el experimento utilizando la simulación de acá abajo. Cambie el valor de $r$ gracias al slider, y la de $x_0$ haciendo clic/deslizándose en la figura.
Compruebe la sensibilidad en las condiciones iniciales activando ese modo.

Fuente : experiences.math.cnrs.fr

Escoja por ejemplo $r=3.8$ y algunas condiciones iniciales a su gusto.
Verá que la repartición de las trayectorias en el intervalo no cambia.
Desde hace mucho tiempo (fines de los años 1970) se ha subrayado que esos dos comportamientos son los únicos observados, salvo que se elija ’’muy específicamente’’ el parámetro. 

Esta dicotomía entre la regularidad y la estabilidad estocástica ha sido en efecto observada desde hace mucho tiempo, pero demostrarla era algo muy distinto.
Fue necesario el trabajo de muchos matemáticos antes de llegar a ese resultado, que se debe a M. Lyubich :

Para casi todo [2] valor de $r$, la dinámica de $f_r$ es o bien regular o bien estocásticamente estable.

Este teorema tiene un solo defecto : versa únicamente sobre aplicaciones $f$ muy particulares, ya que se trata de un polinomio de segundo grado en $x$.
La pregunta se planteaba para aplicaciones más generales.

Uno de los primeros resultados importantes de Avila, en colaboración con De Melo y Lyubich, fue generalizar ese teorema para aplicaciones $f$ mucho más generales, casi cualesquiera en realidad.
Por ejemplo -pero no es más que un ejemplo- considere el conjunto de los polinomios $f$ de un cierto grado $d\geq2$ que tienen las siguientes propiedades :

— La imagen de $[0,1]$ por $f$ está contenida en $[0,1]$.

— $f$ posee un solo máximo en el intervalo $[0,1]$ y la derivada segunda en ese máximo es no nula.

El teorema afirma que casi todos esos polinomios son regulares o estocásticamente estables [3].

Ese teorema importante cierra de alguna manera ¡treinta años de esfuerzos !

La dinámica de los billares

Images des Mathématiques ya ha dedicado muchos artículos a los billares, aquí, acá, acá e incluso allá.

Se trata de problemas inspirados por la teoría cinética de los gases, fundada por Maxwell y Boltzmann (vea por ejemplo este artículo).
Imagine un depósito conteniendo un gas, constituido por un muy gran número de moléculas.
Supongamos -lo que no es muy realista físicamente- que el gas esté tan diluido que las moléculas no choquen entre ellas, sino que solo reboten sobre las paredes.
Cada partícula juega entonces al billar en el depósito, sin preocuparse de las demás.
Estamos en una situación donde no nos interesa directamente una trayectoria en particular.
Por el contrario, lo que nos interesa es la evolución de la distribución de las moléculas en el depósito.

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A uno le gustaría mostrar que las moléculas se mezclan bien, a fuerza de soportar los choques contra las paredes.
Por ejemplo, imagine que usted cortara con la mente el depósito en dos mitades de igual volumen, y que coloreara las moléculas de un lado de rojo y y las del otro lado de azul.
Los choques probablemente van a destruir este orden y se puede pensar que muy rápidamente las moléculas azules y rojas van a mezclarse.
En cada pequeña región del depósito habrá más o menos tantas moléculas azules como rojas.
La frase anterior ¿es verdadera ? ; ¿ocurre esa mezcla ?

El problema se simplifica suponiendo que el depósito es en realidad un polígono en el plano.
Supongamos incluso que todos los ángulos del polígono son de la forma $360 \frac{p}{q}$ grados, donde $p,q$ son naturales.
Se habla entonces de un billar poligonal racional.
En ese caso se comprende que cuando una bola rebota en las paredes, las diversas direcciones tomadas por la bola toman solo un número finito de valores.
Por ejemplo, si usted lanza una bola en un rectángulo, el vector velocidad de la bola no puede tomar más que cuatro valores.

Si uno coloca la bola sobre el borde del polígono y la golpea en una cierta dirección, la bola va a chocar en otro punto del borde, y luego el rebote va a tomar otra dirección.
Es esta dinámica la que a uno le gustaría comprender.
No es muy difícil ver que todas esas reducciones nos llevan a una dinámica muy simple, que se llama un intercambio de intervalos.

Aquí está de qué se trata.
Elija un natural $k$, por ejemplo $k=4$.
Elija $k$ números positivos $a_1,a_2,…, a_k$ cuya suma es $1$.
Descomponga el intervalo $[0,1]$ en $k$ intervalos $I_1,…, I_k$ cuyas longitudes son $a_1,a_2,…, a_k$.
Ahora permute los $k$ intervalos según una permutación de su gusto.
Por ejemplo, esta :

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Cada punto $x$ del intervalo $[0,1]$ sin preocuparse de los extremos de los $I_i$ es por lo tanto enviado sobre otro punto $f(x)$ de $[0,1]$.

Avila y Forni mostraron que para casi todos los valores de las longitudes de los intervalos, y para toda permutación [4], el cambio de intervalo es débilmente mezclador.

Es necesario que yo explique lo que quiere decir débilmente mezclador.
Comienzo por explicar lo que significa mezclador.
Considere dos intervalos $J_1,J_2$ en $[0,1]$.
La imagen $f^n(J_1)$ es una reunión de intervalos, igual que la intersección $f^n(J_1) \cap J_2$.
Escribamos $long(f^n(J_1) \cap J_2)$ la suma de las longitudes de esos intervalos.
Decir que $f$ es mezclador significa que cuando el ’’tiempo’’ $n$ tiende al infinito, $long(f^n(J_1) \cap J_2)$ tiende hacia el producto de las longitudes de $J_1$ y de $J_2$.
Esto significa que cuando el tiempo tiende al infinito, los dos acontecimientos $f^n(J_1)$ y $J_2$ tienen tendencia a volverse independientes en el sentido de las probabilidades.

Es una linda definición pero... Katok mostró que ¡ningún intercambio de intervalo tiene esta propiedad !
Esto llevó a preguntarse si una forma de mezcla un poquito menos fuerte no era sin embargo satisfecha por los cambios de intervalos (aparte de los casos excepcionales). Se trata de la ’’mezcla débil’’ : se obtiene la independencia $long(I \cap f^n(J)) \simeq long(I)long(J)$ para $n$ grande, solamente después de haber excluido un conjunto ’’muy pequeño’’ de naturales $n$ [5].

Esto es lo que demostraron Avila y Forni :

Algunos artículos de Artur Avila

Los artículos publicados y las prepublicaciones se encuentran aquí

Los dos trabajos a los que me referí aquí son :

Regular or stochastic dynamics in real analytic families of unimodal mapsA. Avila, Mikhail Lyubich and W. de Melo. 
Inventiones Mathematicae 154 (2003), 451-550.

Weak mixing for interval exchange transformations and translation flowsA. Avila, Giovanni Forni. 
Annals of Mathematics 165 (2007), 637-664.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1NdT : Centro Nacional para la Investigación Científica de Francia

[2El ’’casi todo’’ en este enunciado es en el sentido técnico de la ’’medida de Lebesgue’’.

[3Para ser exactos, habría que modificar un poco la definición de la estabilidad estocástica... ¡que yo no dí !

[4que no es una rotación y que es irreductible...Una permutación $\sigma : \{ 1,…, k\}$ no es irreductible si existe un natural $ i < k$ tal que $\sigma \{1, …, i\} = \{1, …, i\}$. Un cambio reductible es una yuxtaposición de cambios que pueden ser estudiados independientemente.

[5Un conjunto $E$ es ’’muy pequeño’’ si es ’’de densidad nula’’, lo que significa que la relación $Cardinal (E \cap \{1, …, n\} / n$ tiende hacia 0 cuando $n$ tiende al infinito.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Artur Avila, Medalla Fields 2014» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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