Aux sources du « théorème du perroquet »

Sur l’intérêt pour l’histoire des mathématiques

Piste bleue Le 14 novembre 2018  - Ecrit par  Alain Herreman Voir les commentaires

La mesure de la hauteur d’une pyramide d’Égypte par Thalès est sans doute un des récits emblématiques de l’histoire des mathématiques. Il nous donne l’occasion de reconsidérer l’intérêt de l’histoire des mathématiques dans l’enseignement et d’en découvrir quelques caractéristiques [1].

La mesure de la pyramide par Thalès

Voici un encart typique extrait d’un manuel relatant la mesure d’une des pyramides d’Égypte par Thalès :

JPEG - 196 ko
Belin, Nouveau Prisme, 4ème, 2011, p. 185

La mesure de la hauteur d’une pyramide est en effet un bel exemple d’application des mathématiques : une pyramide est un volume impénétrable, un tombeau, dont le théorème de Thalès permet de mesurer la hauteur sans avoir à le pénétrer. Ce récit nous présente l’application du « théorème de Thalès » par Thalès lui-même, le théorème en personne, et nous rend témoins d’une « scène primitive ». Que Thalès, « mathématicien et philosophe grec », puisse appliquer son théorème en Égypte est aussi une manière d’en faire valoir la grande portée : les mathématiques sont grecques, mais elles s’appliquent et sont efficaces jusqu’en Égypte et encore aujourd’hui. C’est l’universalité des mathématiques en acte**.

Les sources de l’histoire

Cette mesure nous est présentée ici comme un fait historique. Des encyclopédies comme Wikipedia ou l’Encyclopaedia Universalis ou une recherche à partir d’un moteur de recherche suffisent à identifier les sources de cette histoire. On arrive ainsi facilement à la référence aux Présocratiques de Jean-Paul Dumont dans la Bibliothèque de la Pléiade.
On détermine ainsi qu’il n’y a que trois fragments relatifs à la mesure de la pyramide. La référence la plus ancienne est de Pline (Ier siècle après J.-C.), soit postérieure de plus de sept siècles aux faits relatés :

JPEG - 30.2 ko
(Dumont, 1988, p. 20)

Le deuxième fragment est de Plutarque (c.a. 46 – c.a. 125) :

JPEG - 44.3 ko
(Dumont, 1988, p. 21)

La description de Plutarque est plus précise que celle de Pline : il y est fait référence à un « bâton » dont il est précisé qu’il doit être placé à la fois « à plomb » et « au bout de l’ombre de la pyramide ». Il est aussi indiqué que l’on obtient ainsi deux triangles et que la hauteur de la pyramide, la hauteur du bâton, et leurs ombres respectives sont proportionnelles. En revanche, aucune référence à un défi ou un quelconque Pharaon mentionnés dans l’encart...
Le troisième fragment est de Diogène Laërce, soit au début IIIe siècle ap. J.C., deux siècles après Pline et Plutarque :

JPEG - 11.9 ko
(Dumont, 1988)

Thalès est cité par des auteurs plus anciens, par exemple Hérodote (Ve siècle av. JC) ou Aristote (IIIe siècle av. JC), mais ils ne mentionnent pas la mesure de la pyramide**.

Décontextualisation et re-contextualisation à partir de Plutarque

Le fragment de Plutarque est en fait extrait d’un texte conservé dans son intégralité : Le Banquet des Sept Sages. Sa lecture modifie quelque peu la perception que l’on peut en avoir.
Le Banquet des Sept Sages est un dialogue qui se tient à l’occasion d’un banquet qui réunit les sept sages, dont Thalès. La mesure de la pyramide est rapportée par Niloxène, qui a bien connu Thalès en Égypte et qui s’adresse directement à lui. Niloxène est porteur d’une lettre du Pharaon Amasis. Ce Pharaon est donc bien mentionné, mais c’est de fait la seule source qui le mentionne en relation avec la mesure de la pyramide. En outre, le Pharaon ne s’adresse pas à Thalès, mais à Bias, un autre des sept sages conviés au banquet. Sa lettre concerne une énigme : il échange en effet régulièrement avec le roi d’Éthiopie des énigmes et sollicite une seconde fois l’aide de Bias. Niloxène fait alors valoir à Thalès que Bias, contrairement à lui, ne dédaigne pas l’amitié des tyrans. L’évocation de la mesure de la pyramide n’a pas ici pour fonction d’en exposer les modalités, mais plutôt d’embarrasser Thalès en lui faisant valoir que malgré ses fameux sarcasmes à l’encontre des tyrans il n’en bénéficie pas moins de ce fait de « l’estime et [de] l’admiration » de l’un d’eux. Cette estime n’est d’ailleurs pas due au fait d’avoir effectué cette mesure, mais de l’avoir réalisée « sans aucun instrument mathématique ».

Le propos de Niloxène est en fait lui-même rapporté par Dioclès, dans un dialogue fictif de Plutarque. Cela n’exclut pas qu’il puisse avoir une certaine valeur historique, comme peuvent en avoir les propos d’Indiana Jones. Si on lit l’ensemble de ce texte on découvre que Dioclès et Thalès y croisent aussi un jeune centaure : « il disait être né d’une cavale, qui avait la tête, le cou et les mains d’un homme, et dans tout le reste, était fait comme un cheval ». Thalès, pas plus qu’un autre, n’en remet en cause la possibilité mais saisit l’occasion pour un nouveau trait d’esprit en suggérant à celui qui le lui présente de ne plus faire garder ses juments par de jeunes bergers non mariés. Tout ne semble donc pas devoir être tenu pour authentique…

Ainsi, nulle part il n’est dit ou même seulement suggéré que les Égyptiens ne savaient pas mesurer la hauteur d’une pyramide. Nulle part il n’est question d’un défi lancé par Amasis à Thalès : le Pharaon s’adresse à Bias, non à Thalès, à propos d’une énigme, et non d’un défi mathématique, qui lui a été envoyée par un autre roi**.

Condescendance et décontextualisation : l’inversion des rapports entre la Grèce et l’Égypte

L’encart relate la rencontre d’un savant grec et d’un Pharaon égyptien ignorant. Toutes les sources antiques rapportent pourtant exactement l’inverse. Il suffit pour le découvrir d’étendre un peu notre lecture de l’édition française des fragments présocratiques : que ce soit Flavius Josèphe (Ier s. ap. J.-C) dans Contre Apion, Diogène Laërce dans ses Vies et doctrines des philosophes illustres, Jamblique (IIIe-IVe s. ap. J.-C) dans la Vie pythagorique, Aétius (Ve s. ap. J.-C) dans ses Opinions, tous rapportent que Thalès est allé en Égypte en élève et non en maître. Suivant aussi bien Hérodote (Ve s. av. J.-C), qu’Aristote (384-322), Platon ou encore Proclus (Ve ap. JC), la géométrie a son origine en Égypte. L’idée d’un Thalès donnant aux Égyptiens des leçons de géométrie est plutôt surprenante**...

Les théorèmes attribués à Thalès

Si l’on considère à présent les références à Thalès dans les traités mathématiques, aucun, bien sûr, ne mentionne la mesure de la pyramide. Proclus (Ve siècle ap. JC) est ici notre principale source. Il attribue à Thalès les théorèmes suivants :

  • le diamètre partage le cercle en deux parties égales ;
  • l’égalité des angles de tous les triangles isocèles ;
  • l’égalité des angles opposés.
  • Des triangles ayant deux angles et un côté égaux sont égaux ;

Diogène Laërce, quant à lui, lui attribue l’inscription d’un triangle rectangle dans un cercle.

C’est là exactement la liste de théorèmes attribués à Thalès dans l’article de l’Encyclopædia Universalis qui lui est consacré, mais avec l’indication des sources qui permettent d’établir cette liste… Le « théorème de Thalès » ne fait donc pas partie de ceux que Proclus attribue à Thalès. Les théorèmes qui lui sont attribués ne traitent que d’égalité de figures ou d’angles ; la notion de proportion n’intervient dans aucun d’eux. L’idée que l’on commence à avoir que le « théorème de Thalès » ne serait pas de Thalès paraît ainsi confortée. Pas vraiment… car il faut tenir compte des sources utilisées. Les commentaires de Proclus ne portent en effet que sur le Livre I des Éléments d’Euclide consacré à l’égalité des figures. Un énoncé correspondant au « théorème de Thalès » se trouve dans les Eléments, mais seulement dans le Livre VI. Proclus n’a donc aucune raison d’en parler. Nous risquons donc d’attribuer subrepticement aux mathématiques de Thalès une limite qui ne serait que celle du propos de Proclus, qu’il importe donc de connaître...

Cela étant, Plutarque est le seul qui mentionne une proportion. Pline et Diogène Laërce mentionnent une condition (l’égalité entre le bâton et son ombre) qui permet de se dispenser du « théorème de Thalès » : il suffit de savoir qu’un triangle rectangle dont les deux angles non droits sont égaux est isocèle. Le « théorème de Thalès » n’est pas nécessaire pour mesure la hauteur d’une pyramide**.

L’apport de la lecture des sources

La lecture des sources à laquelle nous nous sommes livrés ne procède pas d’une forme de culte de l’origine ou de l’authentique. Les conditions de transmission et d’édition de ces sources obligent à vite y renoncer. Il ne s’agit pas non plus d’y chercher la vérité, le fin mot de l’histoire. Si leur lecture a bien néanmoins à voir avec la vérité, c’est la vérité de ce qui nous est dit, c’est-à-dire la valeur de l’histoire qui nous est présentée. Cette lecture est pour cela nécessaire. Elle l’est notamment pour découvrir ce qui a été retranché et ce qui a été ajouté : la qualité de sage remplacée par celle de « mathématicien et philosophe » , celle de tyran par celle d’ignorant, la notion d’énigme par celle de défi, et l’inversion du sens de diffusion du savoir entre la Grèce et l’Égypte véhiculant une vision assez colonialiste d’un savant occidental montrant sa science à un monarque oriental ignorant.

Ces transformations ont sans doute été jugées anodines par ceux qui les ont opérées. Probablement n’ont-ils pas eu conscience de les faire, trouvant sans importance ce qu’ils retranchaient et considérant que ce qu’ils ajoutaient y était au fond déjà ; ils n’ont fait que grossir le trait... Ces récits ainsi modifiés conviennent aussi d’autant mieux à leurs lecteurs et sont de ce fait d’autant plus facilement repris et diffusés. Le fait que Thalès triomphe d’un défi lancé par le Pharaon grâce au « théorème de Thalès » joue bien un rôle essentiel dans l’intérêt que l’on cherche et que l’on trouve ainsi à l’histoire, que ce soit dans des manuels ou des sites s’attachant à donner une bonne image des mathématiques. Cela correspond mieux au contexte scolaire et favorise tout un jeu d’identifications qui en fait son attrait et son efficacité. Mais comme ces modifications ont précisément été introduites pour rendre le récit plus satisfaisant, plus conforme à nos attentes et à nos préjugés, elles passent aussi de ce fait d’autant plus inaperçues que ces préjugés sont plus largement et profondément partagés. Si nous sommes enclins à considérer que la culture occidentale est supérieure à la culture orientale, le récit nous conviendra parfaitement et même nous confortera dans cette idée. La lecture des sources permet en l’occurrence à chacun de découvrir tout cela. Le retour aux sources ne procède donc nullement de la croyance que la vérité s’y trouverait, mais il est un puissant moyen pour découvrir certains des préjugés à l’œuvre dans un certain intérêt pour l’histoire inhérent à un certain rapport aux mathématiques véhiculé par l’enseignement**.

Les dispositifs de mesure

La lecture des sources met notamment en évidence que l’encart du Nouveau Prisme mêle des indications provenant de chacune d’elles et ajoute des précisions qui ne se trouvent dans aucune. Les sources ne donnent en particulier aucune valeur : ni les dates possibles de la mesure, ni la valeur obtenue de la hauteur. Ces valeurs ont donc nécessairement été inventées. Le protocole donné est tout à fait fantaisiste : étant donnée la latitude du Caire, le Soleil n’y est jamais au zénith (vertical de l’observateur) et l’absence d’ombre empêcherait toute mesure à ce moment ! Les deux dates du 21 novembre et le 20 janvier n’ont en l’occurrence aucun sens : elles ne sont que des effets de précision dans un protocole factice. Les élèves ont ainsi le sentiment de savoir mesurer la hauteur de la pyramide mais n’en ont en fait aucun savoir effectif. C’est un simulacre de précision aussi bien historique que mathématique qui leur est présenté. Les valeurs choisies ne sont néanmoins pas sans signification. La différence relativement petite entre la mesure obtenue par Thalès et la « hauteur réelle », bien sûr supérieure..., nous incite à trouver, avec un peu de condescendance, que ce n’est pas si mal pour l’époque… Nous sommes ainsi confortés dans l’idée que la science grecque était remarquable mais que la nôtre lui est néanmoins supérieure. Mais tout cela ne tient qu’à des valeurs qui ont été choisies pour qu’il en soit ainsi. Ce ne sont que des préjugés que les valeurs choisies viennent alimenter.

La raison de l’heure de la mesure, midi, ainsi que la provenance des dates (21 novembre et 20 janvier) et de la mesure de la hauteur obtenue (276 coudées) restent néanmoins mystérieuses. Elles se retrouvent pourtant dans de nombreux manuels, sites et livres, la taille de Thalès variant suivant que l’on souhaite lui attribuer un résultat égal ou inférieur, mais jamais supérieur !, à la valeur présentée comme exacte.

Cette heure, ces dates et cette valeur de la mesure se retrouvent dans Le Théorème du perroquet, publié en 1998 par Denis Guedj :

JPEG - 61.9 ko
(Guedj, 1998, p. 53)

Si l’on retrouve la même heure et les deux dates du 21 novembre et du 20 janvier, leur justification est différente de celle de l’encart. Il est indiqué que l’heure, midi, sert à avoir une ombre perpendiculaire à la base. Cette disposition était supposée dans l’encart, sans que l’on sache comment elle était satisfaite. Elle s’explique par le fait que les quatre faces des trois pyramides sont orientées vers les quatre points cardinaux : le méridien du lieu est donc perpendiculaire à la base et l’ombre du Soleil à midi est de ce fait chaque jour perpendiculaire à la base.

JPEG - 79.8 ko
Google Earth

La date est quant à elle choisie pour que le Soleil soit à midi à la hauteur de 45°. Cela ne nous dit pas comment les deux dates du 21 novembre et du 20 janvier ont été calculées. Mais voyons à présent la valeur donnée dans le roman de D. Guedj :

JPEG - 79.6 ko
(Guedj, 1998, p. 53)

On retrouve les mêmes valeurs que dans l’encart. Mais le dernier paragraphe n’y figurait pas, il est pourtant intéressant : « M. Ruche ne leur dit pas le temps qu’il avait passé, la nuit précédente, pour effectuer tous ces calculs. Combien de fois il s’était trompé !  ». Toutes ces valeurs sont celles obtenues par M. Ruche, alias Denis Guedj ! Le texte de Denis Guedj est là encore plus cohérent, rigoureux et complet ; il est le seul qui assume et rend explicite son caractère imaginaire. Sa cohérence et surtout l’indication explicite de son caractère imaginaire en font une source probable des textes moins cohérents dans lesquels les deux mêmes dates et les mêmes valeurs sont reprises sans que ne soit indiquée la manière dont elles ont été obtenues, ni surtout leur caractère entièrement fictif. Le manque de rigueur mathématique et historique vont en l’occurrence de pair.

Peut-être conviendrait-il d’appeler dorénavant le « théorème de Thalès » le « théorème du perroquet » afin de rappeler le rôle éventuel de ce roman dans les présentations du récit qui en relate l’origine. Cela rappellerait aussi le risque qu’il y a à répéter des arguments aussi bien historiques que mathématiques sans en contrôler les sources et le bien fondé, mais ce serait alors une appellation qui conviendrait sans doute à beaucoup d’autres théorèmes**.

Critique d’une histoire critique

Quelques connaissances historiques, du type de celles données dans les paragraphes précédents, permettent de faire facilement la critique de l’histoire présentée dans l’encart du Nouveau Prisme. L’encart suivant en est un exemple :

Le titre de cet encart annonce d’emblée une remise en cause de l’appellation « théorème de Thalès ». L’idée que l’usage d’attribuer des noms de mathématiciens remonterait, pour l’enseignement, à la fin du XIXe siècle, reprend, sans le citer, un article de Henry Plane (1995, p. 79)**. La carte au bas de l’encart montre que le nom « théorème de Thalès » désigne des théorèmes différents selon les pays, en l’occurrence tous européens. Le choix français est manifestement erroné puisque l’on apprend que le « théorème de Thalès » était connu des Égyptiens. Cette attribution est cette fois étayée par une référence à un manuscrit égyptien : le papyrus de Rhind, dont il est précisé qu’il « aurait été recopié vers 1650 avant J.-C. par le scribe Ahmès ». Tout cela est manifestement précis et savant et est accompagné de la reproduction d’un extrait du papyrus au bas de laquelle on distingue nettement une configuration de Thalès. Le même extrait de papyrus est reproduit dans l’article « théorème de Thalès » de Wikipedia établissant de la même manière que ce théorème était déjà connu des Égyptiens :

PNG - 256.4 ko
Wikipedia, « Théorème de Thalès », page consultée le 9/8/2018

La légende placée sous la reproduction de l’extrait du papyrus est explicite :
Le papyrus Rhind contient un équivalent du théorème de Thalès.
L’article de Wikipedia nous renvoie en outre à l’étude d’une égyptologue, en l’occurrence Sylvia Couchoud, et à son livre (Couchoud, 1993) .
On y trouve en effet la transcription, la traduction et le commentaire de ce problème. En revanche, il n’y est nulle part question du théorème de Thalès !

Le problème dont cette figure fait partie est sans doute l’un de ceux dont l’interprétation est la plus difficile et la plus controversée. Sylvia Couchoud cite à ce propos deux historiens, Peet, auteur d’une édition du manuscrit, et Neugebauer, autre spécialiste de l’histoire des mathématiques antiques, qui jugent pour l’un que « le calcul n’a pas de sens » et pour l’autre qu’il y a une contradiction. Depuis, d’autres spécialistes en ont proposé d’autres interprétations. Les raisons de ces difficultés sont au moins faciles à déterminer, sinon à lever. L’énoncé de ce problème manque : on ne sait ni ce qui est cherché ni la signification des nombres considérés ni celles des calculs qui leur sont appliqués. La résolution donnée comprend à la fois des approximations (volontaires et habituelles) et des erreurs de calcul ou/et de copie (involontaires et aussi habituelles). La figure qui nous est montrée comme une évidence est donc associée à un problème dont on ne sait pas ce qu’il calcule, ni comment, ni sur quoi il porte, et qui comprend en outre des approximations, des erreurs de calcul ou/et de copie.

Pour reconnaître une configuration de Thalès, il faut au minimum déterminer la valeur des nombres de la figure. Le manuscrit est en hiératique mais, conformément à l’usage en égyptologie, Sylvia Couchoud en donne une transcription en hiéroglyphes et une traduction dans notre système de numération.

JPEG - 64.3 ko
À gauche : Papyrus de Rhind, Problème 53
À droite : Transcription et traduction issues de (Couchoud, 1993, p.60)

Une comparaison de la transcription et de la traduction fait apparaître qu’une croix manque dans la transcription (la croix correspondant au 1/4 du 2 1/4) et que les sept traits à la pointe du triangle de la transcription n’ont pas été traduits. Les scribes égyptiens ne sont pas les seuls à faire des erreurs de copie ! Il devrait donc y avoir un deuxième « 7 » à la pointe du triangle, comme il y a deux fois sept bâtons dans la figure de la transcription en hiéroglyphes. Mais si l’on se reporte à la figure du manuscrit, celle avec les nombres en hiératiques, les deux signes qui sont traduits par des « 7 » ou par sept bâtonnets, sont différents ! Demandez-vous pourquoi et surtout, comparez les explications qui vous sont venues à l’esprit avec la réponse**… C’est le genre de découverte que l’on peut faire en lisant les sources, et surtout en les lisant en s’intéressant surtout à ce que nous ne comprenons pas, pour éventuellement remettre en cause ce que nous avions cru comprendre, plutôt que l’inverse.

Une rapide vérification de la traduction de la figure proposée par Sylvia Couchoud suffit à nous faire prendre conscience que la traduction d’une figure géométrique et des nombres qui y sont portés ne va pas de soi. Cela est encore plus manifeste si l’on examine d’autres traductions du même problème : toutes donnent des traductions différentes des nombres portés sur le triangle :

JPEG - 122.7 ko
1) Chace Bull & Manning & Archibal 1927, p. 94
2) Obenga 1995, p. 90
3) Friberg 2005, p. 46
4) Couchoud, 1993, p. 60
5) Clagett 1999, p. 382
6) Michel 2014, p. 303
7) Miatello 2015, p. 65

De toutes ces traductions, seule celle de Chace & alii 1927, la plus ancienne, fait apparaître une configuration de Thalès. Mais il ressort de l’examen de cette traduction qu’il ne s’agit pas en fait de la traduction de la figure mais d’une figure présentant leur interprétation du problème. Les valeurs des autres traductions sont inversement toutes incompatibles avec l’application du « Théorème de Thalès ». C’est bien pourtant ce que l’encart et l’article de Wikipedia nous faisaient voir et que nous étions convaincus d’avoir vu. L’un et l’autre exploitent une fausse évidence : si nous pouvons voir une configuration de Thalès, c’est qu’il y a une configuration de Thalès. Comme nous ne sommes spontanément guère capables d’envisager autre chose qu’une configuration de Thalès, ni enclins à le faire, nous tenons pour établi ce que nous envisageons. Une fois ce raisonnement explicité, personne ne peut plus y adhérer. C’est bien pourtant celui tenu par tous les encarts, articles, livres, sites qui donnent cette figure comme preuve que ce théorème était connu des Égyptiens. Ne pouvant y voir autre chose qu’une configuration de Thalès, nous y voyons la preuve de sa présence. Cela revient à tenir pour entendu que les choses ne puissent être autrement que nous les concevons. Cette présence n’est en l’occurrence qu’un produit de notre interprétation, elle est notre reflet. Une telle lecture est fondamentalement circulaire : nous ne faisons qu’y retrouver ce que nous y avons mis en étant ensuite satisfaits d’y retrouver ce que nous connaissons. La figure de la configuration de Thalès, les nombres qui y sont portés et le théorème de Thalès sont autant de faux-amis. À l’inverse de l’intention souvent déclarée, l’histoire ainsi pratiquée ne conduit pas tant à une ouverture d’esprit qu’à renforcer notre propre conception en tenant pour entendu que c’est la seule possible, et ce faisant à la reconnaître là où elle n’est pas forcément à l’œuvre. Revenir aux textes, mais en les lisant …, nous donne les moyens d’envisager d’autres interprétations et ce faisant de nous soustraire aux effets d’une conception unique. Mais une telle histoire est incompatible avec la concision généralement attendue d’un encart et plus généralement de la part accordée à l’histoire dans un enseignement des mathématiques.

Nous sommes incités à reconnaître dans la figure du papyrus de Rhind la configuration caractéristique du « théorème de Thalès », et nous le faisons volontiers. De même, nous sommes incités à voir dans le récit de la mesure de la hauteur de la pyramide par Thalès une application du « théorème de Thalès ». Ce théorème n’est pourtant pas nécessaire à la mesure de la pyramide et la configuration qui lui est associée ne se retrouve pas dans la figure du papyrus du Rhind. Nous les y voyons pourtant et nombre d’encarts historiques tiennent pour avéré ce qu’ils montrent et nous font voir. Leurs auteurs comme leurs lecteurs-spectateurs partagent la même illusion et la reproduisent d’autant plus efficacement qu’ils le font à leur insu. Ce n‘est aussi qu’à la condition de cette adhésion a priori que les encarts peuvent être aussi concis : ils ont besoin de jouer sur des sous-entendus partagés**.

Histoire, circularité, condescendance et récapitulation

Thalès a incarné ici la figure du grand savant ; celui qui a un théorème à son nom et sa place dans les manuels scolaires. Mais l’assimilation de sa notoriété à l’énoncé du « théorème de Thalès » induit inversement l’idée qu’il aurait été célèbre pour avoir découvert ce théorème, c’est-à-dire un théorème aujourd’hui accessible au niveau du collège. Cela suggère que la reconnaissance mathématique s’obtenait alors à bon compte… Une telle dénomination véhicule ainsi avec elle en même temps qu’elle la conforte une idée du progrès des connaissances qui s’accompagne d’une certaine condescendance à l’égard des mathématiques passées et des mathématiciens présentés comme les plus grands : en mettant les élèves au niveau de Thalès, elle met aussi Thalès au niveau des élèves. Le bénéfice pédagogique procuré par cette dénomination et ce récit qui en déploie la signification a pour contrepartie l’assimilation des connaissances de Thalès à celles d’un élève de collège.

La condescendance est le fait d’un sentiment de supériorité qui se manifeste dans la possibilité d’attribuer un mérite à celui dont on se sent supérieur. Le mérite accordé, aussi considérable soit-il, est peu de chose comparé au pouvoir manifesté par celui qui l’accorde : en rendant hommage à un mathématicien, j’exerce et manifeste avant tout mon pouvoir de lui rendre hommage, c’est-à-dire d’être en mesure et en position d’en reconnaître la grandeur. Je prends part à sa grandeur et j’y prends une part qui ne lui revient pas ; celle de la lui reconnaître. En attribuant à Thalès son théorème, c’est exclusivement notre conception de ce théorème que nous entendons lui reconnaître. Nous ne lui cédons pas la possibilité de mettre en cause notre conception de ce théorème et de la géométrie, mais seulement de les conforter.

L’assimilation d’un théorème présenté comme ayant été découvert par Thalès à celui que nous connaissons procède aussi d’une certaine conception de l’histoire des mathématiques et la conforte. Cette assimilation n’est propre ni à ce théorème, ni même aux théorèmes ; elle se retrouve dans les définitions, les procédés de calcul etc. enseignés dont les encarts historiques s’attachent à déterminer l’origine. Elle est en fait le ressort de l’idée selon laquelle la progression scolaire de l’élève suivrait à peu près le développement historique des mathématiques. Ainsi, au cours de sa scolarité l’élève, puis l’étudiant, devrait parcourir les différents stades par lesquels les mathématiciens seraient eux-mêmes passés. Son cursus récapitulerait le développement des mathématiques. Son développement individuel reproduirait de manière sommaire celle des mathématiques. En quelques années il accomplirait une évolution semblable à celle qui s’est produite sur plusieurs millénaires. Les encarts historiques sont aussi inversement autant d’occasions de mettre en place et de conforter cette récapitulation et ce faisant de donner aux élèves eux-mêmes, et non seulement aux connaissances, une place privilégiée dans cette histoire.

Cette récapitulation a sa déclinaison didactique : c’est l’idée selon laquelle l’histoire des mathématiques permettrait de retrouver les difficultés auxquelles les élèves sont confrontés. Ses difficultés seraient aussi celles que Thalès, Euclide, Archimède, Descartes, Leibniz, Euler, Gauss etc. ont dû surmonter avant eux. Elle fonde ainsi tout un usage didactique de l’histoire. Il est rassurant et même flatteur de penser que les plus grands mathématiciens seraient aussi passés par là. Voir ses propres difficultés chez eux permettrait aussi de mieux les identifier et aiderait à les surmonter : le progrès des mathématiques a transformé la poutre à laquelle ces mathématiciens ont été confrontés en une paille pour les élèves. Cet usage didactique de l’histoire se fonde sur la récapitulation en même temps qu’il la conforte. L’élève rejouerait en classe une scène primitive constitutive de la célébrité d’un mathématicien. Le cadre scolaire ordinaire est ainsi mis en correspondance avec des moments historiques. La classe devient le théâtre où se rejoue l’histoire des mathématiques. Le tableau noir devient le grand écran qui nous fait revivre l’épopée des mathématiques. Craignant qu’il ne s’ennuie dans sa pataugeoire, on dit à l’élève qu’il est en fait au milieu de l’océan en route pour découvrir l’Amérique ! Il y a là bien sûr inversement de la condescendance puisque cela implique que ses difficultés sont les mêmes que celles qui ont fait la notoriété de grands mathématiciens : ils pataugeaient eux-mêmes dans ce qui leur semblait alors être l’océan, les poutres auxquelles ils se croyaient confrontés n’étaient en fait que des pailles. L’exaltation ainsi procurée se paye de condescendance.

L’examen des sources a permis de se convaincre que la supériorité des Grecs sur les Égyptiens était un trait ajouté tardivement, comme l’idée que la mesure obtenue par Thalès aurait été inférieure à la nôtre. Il a permis d’établir que cette impression de supériorité était un ajout ultérieur sans fondement historique, perpétré par les manuels plutôt qu’un fait historique établi. Cela aurait pu être avéré, il n’en demeurerait pas moins que le sentiment de supériorité aurait été la corde sur laquelle ils joueraient. Qu’elle ne le soit pas permet de mettre plus facilement en évidence que l’attrait de ce sentiment de supériorité importe plus que la vérité historique. Et s’il y a un fait historique, ce n’est pas de l’histoire des mathématiques en Égypte ou en Grèce antique qu’il s’agit, mais bien plutôt de l’histoire des représentations que l’on s’en fait et que l’on en donne actuellement dans les enseignements de mathématiques.

Les mathématiques peuvent dispenser de percer les murs d’une pyramide pour en mesurer la hauteur mais ce qui nous sépare des mathématiques égyptiennes, mésopotamiennes, grecques, ou même d’autres bien plus proches dans le temps, n’est pas a priori exclusivement de nature mathématique. La distance qui nous sépare des mathématiques passées n’est pas telle qu’une homothétie, l’action d’un groupe, un foncteur ou un algorithme nous permettrait de la franchir et de connaître des mathématiques que nous ne connaissons pas à partir de celles que nous connaissons. Rien ne peut nous dispenser de la lecture des sources et nous faire économiser le temps que cela requiert ; c’est le seul moyen de connaître ce que les mathématiques passées partagent avec celles que nous connaissons et ce en quoi elles en diffèrent, et d’ainsi éviter la circularité, avec ses faux-amis, la condescendance et la récapitulation. L’histoire des mathématiques ne peut être ainsi réduite que par la croyance que la connaissance des mathématiques actuelles ferait connaître l’essentiel de ce que l’histoire peut nous en faire connaître ; les enseignements d’histoire des mathématiques sont de ce fait les premières victimes des économies que doivent faire aujourd’hui les UFR de mathématiques : le « théorème du perroquet » a de beaux jours devant lui !**

Bibliographie

Chace, Arnold Buffum & Bull, L. & Manning, Henry Parker & Archibald, Raymond Clare (1927). The Rhind Mathematical Papyrus (vol. I). Oberlin : Mathematical Association of America.

a, b et cCouchoud, Sylvia (1993). Mathématiques égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, Paris :Éditions du Léopard d’or.

a, b et cDumont, Jean-Paul & Delattre, Daniel (collab.) & Poirier, Jean-Louis (collab.) (1988). Les présocratiques, Paris : Gallimard, Bibliothèque de la Pléiade.

Friberg, Jöran (2005). Unexpected Links Between Egyptian and Babylonian Mathematics. Hackensack : World Scientific Publishing Company.

a et bGuedj, Denis (1998). Le Théorème du perroquet, Paris : Seuil.

Herreman, Alain (2017). « Aux sources du « théorème de Thalès ». Sur la condescendance et la recherche de l’origine ».

Miatello, Luca (2015). « The Area of Trapezia in Problem 53 of the Rhind Mathematical Papyrus ».

Michel, Marianne (2014). Les mathématiques de l’Egypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique et autres problèmes, Bruxelles : Éditions Safran.

Obenga, Théophile (1995). La géométrie égyptienne : Contribution de l’Afrique antique à la mathématique mondiale, Paris : L’Harmattan.

Plane, Henry (1995). « Une invention française du XXe siècle : le théorème de Thalès » in Autour de Thalès, Bulletin Inter-IREM, p. 68-86.

Plutarque & Ricard (trad.) (1844). Œuvres morales de Plutarque, Paris : Didier.

Proclus & ver Eecke, Paul (trad, notes) (1948). Les commentaires sur le premier livre des Éléments d’Euclide, Paris : Desclée de Brouwer.

Post-scriptum :

Je remercie les différents relecteurs et éditeurs, et particulièrement Jenny Boucard, pour le temps qu’ils ont bien voulu consacrer à cet article.

La rédaction d’Images des Mathématiques remercie pour leur relecture attentive : Vincent Beck, Jean Delcourt, Alexis Michelat, Romain Petrides et Bernard Valentin.

Article édité par Jenny Boucard

Notes

[1Cet article est une présentation très réduite d’une étude réalisée au sein du groupe d’histoire des mathématiques de l’IREM de Rennes. En cliquant sur les ** placés à la fin de certains paragraphes, le lecteur pourra se reporter à des développements plus complets.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Alain Herreman — «Aux sources du « théorème du perroquet »» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM