Un défi par semaine

Avril 2016, 3e défi

El 15 abril 2016  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (9)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

Est-il possible d’écrire le nombre

$1^2+2^2+3^2+\cdots +12^2$

comme la somme des carrés de $11$ nombres entiers distincts?

Solution du 2e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Les faces du cube sont des carrés, leur aire vaut donc $a^2$, et l’aire totale du cube est $6a^2$.

Le tétraèdre régulier est formé de quatre triangles équilatéraux.
À l’aide du théorème de Pythagore, on voit que la hauteur d’un triangle équilatéral de côté $b$ vaut $\frac{\sqrt{3}b}{2}$, et donc son aire $\frac{\sqrt{3}b^2}{4}$. Par conséquent l’aire du tétraèdre est $4\times \frac{\sqrt{3}b^2}{4}=\sqrt{3}b^2$.

Enfin l’octaèdre régulier est formé de huit triangles équilatéraux de côté $c$, donc son aire vaut $8\times \frac{\sqrt{3}c^2}{4}=2 \sqrt{3} c^2$.

Comme les trois solides ont la même aire, on a

$6 a^2 = \sqrt{3}b^2 = 2\sqrt{3}c^2,$

d’où l’on déduit

$(6a^2)^2 = \left (\sqrt{3}b^2\right )\left ( 2\sqrt{3}c^2\right )$

$36 a^4 = 6 b^2c^2,$

et donc $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Avril 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Avril 2016, 3e défi

    le 17 de abril de 2016 à 11:55, par Al_louarn

    Ce qui nous fait $2$ solutions. Y en a-t-il d’autres ? Oui ! Mais une seule. Le problème se ramène à trouver une égalité entre :

    • la somme des carrés de $n+1$ nombres $\leq 12$
    • la somme des carrés de $n$ nombres $> 12$

    Le cas $n=1$ correspond aux triplets pythagoriciens : $x^2+y^2=z^2$.
    Pour trouver toutes les solutions on parcourt la liste des triplets primitifs (merci Wikipedia), çàd tels que $x, y, z$ sont premiers entre eux, et on cherche les facteurs $k \geq 1$ tels que $kx < ky \leq 12 < kz$.
    Ceci entraîne que $y \leq 12$, et alors les seuls triplets primitifs acceptables sont le fameux $(3,4,5)$ de votre tonton plâtrier, et $(5,12,13)$.

    Pour $(3,4,5)$ vous avez trouvé l’unique solution $k=3$. En effet :
    $k \leq 2$ est trop petit car alors $kz \leq 10 < 12$
    $k \geq 4$ est trop grand car alors $ky \geq 16 > 12$

    Pour $(5,12,13)$ l’unique solution est bien sûr $k=1$ car au-delà $ky > 12$.

    Passons maintenant au cas $n \geq 2$.
    Notons $P$ la somme des $n+1$ petits carrés et $G$ la somme des $n$ grands carrés. Alors nous avons :
    $P \leq Pmax(n)=(12-n)^2+...+(12-1)^2+12^2$
    $G \geq Gmin(n)=(12+n)^2+...+(12+1)^2$
    Or il se trouve que par miracle $Pmax(2)=(12-2)^2+(12-1)^2+12^2=365=(12+2)^2+(12+1)^2=Gmin(2)$, ce qui nous donne d’un seul coup :

    • une troisième solution
    • une relation amusante entre le nombre de mois et le nombre de jours de l’année !
    • la preuve qu’il n’y a pas d’autre solution
      En effet :
    • pour $n=2$, tout autre choix de nombres donnera $P < G$
    • pour $n \geq 3$, nous avons $Pmax(n) < Gmin(n)$

    En conclusion, il y a exactement $3$ façons d’écrire la somme des $12$ premiers carrés en somme de $11$ carrés distincts, grâce aux égalités suivantes :
    $9^2+12^2=15^2$
    $5^2+12^2=13^2$
    $10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$

    Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.