Avril 2016, 3e défi

Le 15 avril 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

Est-il possible d’écrire le nombre

$1^2+2^2+3^2+\cdots +12^2$

comme la somme des carrés de $11$ nombres entiers distincts ?

Solution du 2e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Les faces du cube sont des carrés, leur aire vaut donc $a^2$, et l’aire totale du cube est $6a^2$.

Le tétraèdre régulier est formé de quatre triangles équilatéraux.
À l’aide du théorème de Pythagore, on voit que la hauteur d’un triangle équilatéral de côté $b$ vaut $\frac{\sqrt{3}b}{2}$, et donc son aire $\frac{\sqrt{3}b^2}{4}$. Par conséquent l’aire du tétraèdre est $4\times \frac{\sqrt{3}b^2}{4}=\sqrt{3}b^2$.

Enfin l’octaèdre régulier est formé de huit triangles équilatéraux de côté $c$, donc son aire vaut $8\times \frac{\sqrt{3}c^2}{4}=2 \sqrt{3} c^2$.

Comme les trois solides ont la même aire, on a

$6 a^2 = \sqrt{3}b^2 = 2\sqrt{3}c^2,$

d’où l’on déduit

$(6a^2)^2 = \left (\sqrt{3}b^2\right )\left ( 2\sqrt{3}c^2\right )$

$36 a^4 = 6 b^2c^2,$

et donc $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Avril 2016, 3e défi

le 15 avril 2016 à 07:47, par ROUX

Il faut économiser un carré d’un entier puisqu’on doit passer d’une somme de douze termes à une somme de onze termes.
Il faut donc trouver deux carrés d’entiers dont la somme soit égale au carré d’un entier.
Oh, mais c’est le théorème de Pythagore :) !!!
Mon tonton plâtrier utilise trois bouts de bois de 60cm, 80cm et 100cm cloués ensemble pour faire rapidement un triangle avec un bel angle droit (on a souvent besoin d’angles droits, dans le bâtiment), qui est une homothétie du triangle avec les trois côtés 3, 4 et 5.
Je prends 5 que je multiplie par un entier de telle manière que le résultat soit plus grand que 12 et que les multiplications de 3 et 4 par ce même entier aient des résultats inférieures à 12 : j’aurai ainsi économisé deux des entiers présents jusqu’à 12 en envoyant leur résultat au delà de 12.
Bon, bah, par 3 : 9 au carré plus 12 au carré est égal à 15 au carré.
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