Un défi par semaine

Avril 2016, 3e défi

Le 15 avril 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

Est-il possible d’écrire le nombre

$1^2+2^2+3^2+\cdots +12^2$

comme la somme des carrés de $11$ nombres entiers distincts ?

Solution du 2e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Les faces du cube sont des carrés, leur aire vaut donc $a^2$, et l’aire totale du cube est $6a^2$.

Le tétraèdre régulier est formé de quatre triangles équilatéraux.
À l’aide du théorème de Pythagore, on voit que la hauteur d’un triangle équilatéral de côté $b$ vaut $\frac{\sqrt{3}b}{2}$, et donc son aire $\frac{\sqrt{3}b^2}{4}$. Par conséquent l’aire du tétraèdre est $4\times \frac{\sqrt{3}b^2}{4}=\sqrt{3}b^2$.

Enfin l’octaèdre régulier est formé de huit triangles équilatéraux de côté $c$, donc son aire vaut $8\times \frac{\sqrt{3}c^2}{4}=2 \sqrt{3} c^2$.

Comme les trois solides ont la même aire, on a

$6 a^2 = \sqrt{3}b^2 = 2\sqrt{3}c^2,$

d’où l’on déduit

$(6a^2)^2 = \left (\sqrt{3}b^2\right )\left ( 2\sqrt{3}c^2\right )$

$36 a^4 = 6 b^2c^2,$

et donc $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Avril 2016, 3e défi

    le 20 avril 2016 à 19:24, par Simon Billouet

    Un de nos followers sur Twitter a écrit une fonction Haskell permettant de répondre à une généralisation de la question, ce qui lui permet de trouver toutes les listes qui conviennent pour le problème initial :
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 14
    1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 15
    1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 13

    Par ailleurs, un autre de nos followers suggère d’appeler le problème « Peut-on écrire la somme des treize premiers carrés d’entiers non nuls comme somme de douze carrés d’entiers distincts ? » problème de la Cène, ce qui j’espère plaira aux lecteurs...

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