Un défi par semaine

Avril 2017, 2e défi

El 14 abril 2017  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 15 :

Combien de couples d’entiers $(x,y)$ satisfont l’équation suivante?

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}.$

Solution du 1er défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $28$ points.

Le nombre de points qu’elle a obtenus de la sixième à la neuvième partie est $23+14+11+20 = 68$. Notons $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{10}$ les points qu’elle a obtenus aux $10$ parties. La moyenne par match est $\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{10}}{10} =18$, c’est-à-dire $x_1+x_2+\cdots+x_{10} =180$. On a donc $x_1+x_2+\cdots +x_5 +68 + x_{10} =180$. On obtient donc:

$x_{10} = 180 - 68- (x_1+x_2+\cdots+x_{5}) =112- (x_1+x_2+\cdots+x_{5}).$

D’autre part, on sait que:

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{9}}{9} > \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{5}$

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{9} + \frac{68}{9} > \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{5}$

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{9} - \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{5} > -\frac{68}{9}$

$- 4 x_1 - 4 x_2 - \cdots - 4x_{5} > -\frac{68}{9}\times 9 \times 5= -340$

$-x_1 - x_2 - \cdots - x_{5} > \frac{-340}{4}=-85.$

Donc, en remplaçant dans la première équation, on obtient:

$x_{10} = 112- (x_1+x_2+\cdots+x_{5}) > 112- 85 = 27.$

Par conséquent, Camille a obtenu au moins $28$ points à la dixième partie.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Avril 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ROBERTO SORIN / SHUTTERSTOCK

Comentario sobre el artículo

  • Avril 2017, 2e défi

    le 14 de abril de 2017 à 14:14, par Niak

    Considérons le cas général $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{n}$. On a nécessairement $x,y > n$ donc, en posant $X = x-n > 0$ et $Y = y-n > 0$, on a $\frac{1}{X+n} + \frac{1}{Y+n} = \frac{1}{n}$, soit $n(2n+X+Y) = (X+n)(Y+n)$ ce qui se simplifie en $n^2 = XY$.
    Les solutions correspondent donc exactement aux possibles factorisations de $n^2$ en deux facteurs. Pour $n=5$ on a donc les $3$ couples $(6,30)$ (pour $(X,Y)=(1,25)$), $(30,6)$ et $(10,10)$ (pour $(X,Y)=(5,5)$).
    On pourra aussi prolonger ce défi sur Project Euler (108 et 110).

    Répondre à ce message
    • Avril 2017, 2e défi

      le 14 de abril de 2017 à 14:46, par Niak

      Arg, j’ai supposé $x,y>0$ ce que l’énoncé n’indique pas, mais le raisonnement reste valide sous l’hypothèse $x,y\neq 0$, i.e. $X,Y\neq -n$. Cela porte le nombre de couples à $5$ en ajoutant $(4,-20)$ (pour $(X,Y) = (-1,-25)$) et $(-20,4)$.

      Répondre à ce message
  • Avril 2017, 2e défi

    le 16 de abril de 2017 à 18:14, par ROUX

    Je transforme 1/x+1/y=1/5 en y=5x/(x-5).
    y, entier, est donc un multiple de 5 et s’écrit 5k.
    Alors, k=x/(x-5) ou 5k=x(k-1).
    Si k est pair, 5k est pair, (k-1) est impair et x doit être pair.
    Si k est impair, 5k est impair, k est pair et c’est impossible pour x.
    5x/(x-5) est toujours décroissante: pour x plus grand que 6, y est inférieur à 30 ce qui majore les valeurs paires de k à 6; pour x plus petit que 4, y est supérieur à -20 ce qui minore les valeurs paires de k à -4.
    Je teste donc, pour les valeurs de k, -4, -2, 0, 2, 4 et 6.
    Les couples (x,y) sont alors : (4,-20); impossible pour k=-2 et pour k=0; (10,10); (5,20) et (6;30).

    Répondre à ce message
    • Avril 2017, 2e défi

      le 18 de abril de 2017 à 19:07, par Niak

      $\frac{1}{5}+\frac{1}{20} = \frac{1}{4}$

      Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.