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Un défi par semaine

Avril 2017, 3e défi

Le 21 avril 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

On replie une feuille de papier $ABCD$ sur elle-même de sorte que le point $A$ se retrouve au milieu du segment $[BC]$. Quelle est la longueur de $[AX]$ en fonction de celle de $[DY]$ ?

Solution du 2e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $5$ couples.

Observons tout d’abord que $x$ et $y$ ne peuvent valoir $0$ ou $5$. L’équation donne :

$\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{x} = \dfrac{x-5}{5x}$

$y= \dfrac{5x}{x-5} = \dfrac{5x-25+25}{x-5}=5 + \dfrac{25}{x-5}.$

Comme $y$ est un nombre entier, $\frac{25}{x-5}$ doit être un nombre entier. Donc $x-5$ divise $25$, c’est-à-dire que les valeurs possibles de $x-5$ sont $\pm 1$, $\pm 5$ et $\pm 25$. Comme $x\neq 0$, on a $x-5\neq-5$. Les autres valeurs de $x-5$ nous disent que $x$ peut valoir $6$, $4$, $10$, $30$ ou $-20$.

Chacune de ces valeurs de $x$ nous donne une valeur de $y$ satisfaisant à l’équation. Les couples de solutions $(x,y)$ sont donc : $(6,30)$, $(4,-20)$, $(10,10)$, $(30,6)$ et $(-20,4)$. Il y a donc $5$ couples satisfaisant à l’équation.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Commentaire sur l'article

Avril 2017, 3e défi

le 21 avril 2017 à 10:03, par Daniate

Réponse

AX = 5DY

Démonstration

E,F et I sont les milieux de [BC],[AD] et [AF] H,G et J sont les intersections de (XY) avec (AE), (EF) et (AD).

On commence par démontrer que AXEG est un losange puis que G est le milieu [XY] . On en déduit XY = 4XH

Les triangles AHX et JHA sont semblables à ABE donc HJ = 2HA = 4XH

Il vient XJ = 5XH = 5JY . Il reste à projeter orthogonalement [XJ] sur [XA] pour obtenire la réponse.

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Avril 2017, 3e défi

le 21 avril 2017 à 15:40, par ruello

ABCD est-il un carré ?
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Avril 2017, 3e défi

le 21 avril 2017 à 17:01, par Daniate

Bonne remarque, je me suis appuyé sur la figure, mais rien n’est dit dans le texte . Je retourne au problème.
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Avril 2017, 3e défi

le 21 avril 2017 à 17:16, par Daniate

En appliquant la démonstration à un rectangle dont le rapport hauteur sur largeur est k, on trouve un rapport AX sur DY égal à (4k²+1) sur (4k²-3).
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Avril 2017, 3e défi

le 21 avril 2017 à 18:33, par ruello

J’obtiens le même résultat en utilisant les différents triangles rectangles de la figure.
Soit A’ le milieu de [BC], D’ le quatrième sommet du trapèze XA’D’Y.
x = AX et y =DY, AB =L et AD = l
On a (L-x)² + l²/4=x² d’où 8Lx = 4L² + l²
A’Y² = l² +y² = l²/4 + (L-y)² d’où 8Ly = 4L² -3l².
En posant k = L/l
Le rapport x/y = AX / DY = ( 4k² +1)/(4k² -3)
Si k² = 3/4 alors Y = D.
pour que Y soit sur le segment [DC], k² doit être supérieur à 3/4
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