Enoncé

La seule solution est $n=2$ et $m=3$

En multipliant par $4mn^2$, on voit que l’équation est équivalente à $4n^2 + 4mn - 4 = 3mn^2$, ce que l’on peut réécrire sous la forme $4n^2 + 4mn - 3mn^2 = 4$. Comme le terme de gauche est égal à $n \times (4n + 4m - 3mn)$, cela entraîne que $n$ est un diviseur de $4$. Il y a donc trois cas:

• $n = 1$ et $4+4m-3m = 4$, c’est-à-dire $m = 0$. Comme on ne cherche que des entiers strictement positifs, cette solution est exclue.

• $n=2$ et $8 + 4m - 6m = 2$, c’est-à-dire $2m=6$, ce qui donne la solution $n = 2$ et $m = 3$.

• $n=4$ et $16 + 4m -12m = 1$, c’est-à-dire $8m = 15$, qui ne possède pas de solution entière.

En résumé, la seule solution est $n=2$ et $m=3$.