Un défi par semaine

Avril 2019, 4e défi

El 26 abril 2019  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (18)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 17

Trouver tous les nombres à trois chiffres (tous distincts et différents de $0$) égaux à la somme de tous les nombres à deux chiffres que l’on peut former avec les chiffres du nombre initial.

Solution du 3e défi d’avril :

Enoncé

La réponse est $6$.
On peut factoriser l’expression $n^3 - n$ sous la forme $n^3 - n = (n-1)n(n+1).$
Ainsi, tous les éléments de $A$ s’écrivent comme produit de trois nombres entiers consécutifs. Comme il y a nécessairement parmi eux un multiple de $3$ et un nombre pair, on sait que leur produit est un multiple de $6$.

Ainsi, tous les éléments de $A$ sont des multiples de $6$. Comme, par ailleurs, $A$ contient $6 = 2^3 - 2$, on en déduit que le plus grand diviseur commun à tous les éléments de $A$ est $6$ lui-même.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Avril 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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  • Avril 2019, 4e défi

    le 26 de abril de 2019 à 18:16, par Daniate

    Comme souvent le critère de division par 11 est méconnu. Le second terme 22(a+b+c) indique que le nombre est divisible par 11 et donc soit a+c=b soit a+c=b+11.
    Dans le premier cas on obtient 99a+11b=44b puis b=3a d’où 3 solutions 132, 264, 396.
    Dans le deuxième cas on obtient 3a=b+7 et seul b=2 convient avec a=3 mais il faudrait c=10 impossible .

    Répondre à ce message

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