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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 14:20, par Mario

  Bonjour,
  je cherche donc un nombre $n$ dont l’écriture décimale est $abc$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois chiffres deux à deux distincts et tous différents de $0$ : $n = 100a + 10b + c$.
  Il y a 6 façons de former des nombres à deux chiffres à partir de $a$, $b$ et $c$ :
  $10a + b$, $10a + c$, $10b + a$, $10b + c$, $10c + a$, $10c + b$.
  Première remarque : le plus grand nombre à deux chiffres qu’il serait possible d’obtenir est $98$, donc nécessairement $n \leq 6 \times 98$, c’est à dire $n \leq 588$.
  Ensuite, en additionnant les 6 nombres à deux chiffres et après réduction, on obtient :
  $n = 22 (a + b + c)$ (*)
  $n$ est donc un multiple de $22$ inférieur à $588$.
  En reprenant l’écriture décimale de $n$ : $100a + 10b + c = 22 (a + b + c)$.
  Donc, $99a + 9b = 21 (a + b + c)$ et par conséquent $ 33a + 3a = 7(a + b + c)$, soit $3(11a + b) = 7(a + b + c)$. D’où l’on déduit que $(a + b + c)$ est divisible par $3$.
  Ce qu signifie d’après (*), que $n$ est un multiple de $66$, inférieur à $588$, dont tous les chiffres sont deux à deux distincts et différents de $0$.
  Il y a donc 6 candidats : $132, 198, 264, 396, 462, 528$.
  Et seuls $132, 264, 396$ vérifient la condition souhaitée.
  Remarque : je constate qu’il s’agit de multiples de $132$, il devait donc être possible de justifier que $n$ est divisible par $4$, ou ce qui est équivalent, que $a + b + c$ est un nombre pair. Mais, je n’ai pas trouvé comment faire...

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 17:59, par François

  A partir de n=100a+10b+c = 22(a+b+c), on en déduit que modulo 11 a-b+c=0 c’est à dire b=a+c+11k avec deux seules valeurs de k possibles 0 et -1. On remplace b par a+c+11k dans l’équation, on obtient en simplifiant 2a-c=4k.
  Pour k = 0, c=2a b=3a donc comme b<10, a vaut 1,2 ou 3 soit n=132, 264, ou 396. Dans ce cas a+b+c=6a donc est divisible par 6.
  Pour k=-1, c=2a+4 b=3a-7 ce qui est impossible : comme b>0 on devrait avoir a >= 3 mais alors on aurait c >=10.
  Les seules solutions sont donc 132, 264 ou 396.
  Remarque. On ne se sert pas du fait que a,b,c sont tous distincts.

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 18:39, par Will

  Je reprends à la phrase "il y a donc 6 candidats : $132, 198, 264, 396, 462, 528$.

  2 remarques :
  $n\le588$ donc $a\le5$ donc $n=22(a+b+c)\le22\times(5+9+8)=22\times22=484$ donc $a\le 4$. De plus,
  $100\times a=n-10b-c=22(a+b+c)-10b-c=22a+12b+22c\le22\times4+12\times8+22\times9=382$.
  Donc $a\le3$.

  $\ $

  $n=22(a+b+c)$ donc $n$ est divisible par $11$, donc $b=a+c$ si $a+c\le9$, et $b=a+c - 11$ si $a+c\ge10$. Puisque $a\le3$ et $c$ est pair (car $n$ est pair), alors $a+c\ge10$ si et seulement si $c=8$ et $a=2$ ou $a=3$. Dans les deux cas, on trouve alors $b=-1$ ou $b=0$ ce qui est exclut.

  On a donc $a+c\le9$, donc $b=a+c$ et $n=22(a+b+c)=22\times2b=44b=4\times11b$, donc $n$ est divisible par $4$.

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• Avril 2019, 4e défi

  le 9 mai 2019 à 06:55, par Michel Marcus

  Ce sont les 3 premiers termes de la suite OEIS A241754.

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 15:23, par LALANNE

  a,b et c les trois chiffres recherchés non nuls, abc=100*a+bc= ab+bc+ca,
  d’où ab+ca=100*a<199
  a=1 est la seule possibilité , ensuite ab+ca= 10+b+10*c+1=100
  donne 10*c+b=89 donc c=8 et b=9.
  abc=189=19+98+81=ab+bc+ca

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 19:54, par LALANNE

  OUPS !
  abc=198=19+98+81=ab+bc+ca

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 18:16, par Daniate

  Comme souvent le critère de division par 11 est méconnu. Le second terme 22(a+b+c) indique que le nombre est divisible par 11 et donc soit a+c=b soit a+c=b+11.
  Dans le premier cas on obtient 99a+11b=44b puis b=3a d’où 3 solutions 132, 264, 396.
  Dans le deuxième cas on obtient 3a=b+7 et seul b=2 convient avec a=3 mais il faudrait c=10 impossible .

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 18:30, par CAMI

  Soit n=100*a+10*b+c et a=1pour n minimum.
  100*a+10*b+c=12*(a+b+c)
  88*a=11*c+2*b
  2*b=11*(8*a-c) a une solution b=0 a=1 c=8 mais non valide car b doit être différent de 0.
  Donc pas de solution au problème possé ?

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 18:32, par CAMI

  Pardon pour la mauvaise frappe
  Pas de solution au problème posé ?

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 19:26, par Daniate

  Et pourtant 132=13+31+12+21+23+32

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 21:50, par LALANNE

  J’ai mal lu le texte du problème, et je ne crois pas être seul...
  Il existe 9 nombres à deux chiffres si abc est le nombre à trois chiffres initial
  abc=ab+ba+bc+cb+ca+ac+aa+bb+cc
  On obtient donc la somme totale 33*(a+b+c)=abc
  Le nombre abc doit être divisible par 11 et par 3 ,
  donc a+c=b et a+b+c multiple de 3 sont les conditions de divisibilité.
  Les nombres à trois chiffres sont 363, 396 et 693

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 22:29, par CAMI

  Et oui on a eu tout faux !
  l’essentiel c’est de participer !

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• Avril 2019, 4e défi

  le 26 avril 2019 à 23:47, par Daniate

  Le défi indique que les 3 chiffres sont différents. De plus en ajoutant les 9 nombres dont vous parlez construits avec 363 on trouve 396 . En acceptant qu’un même chiffre puisse composer un nombre de deux chiffres je ne trouve qu’une solution : 594

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• Avril 2019, 4e défi

  le 27 avril 2019 à 11:20, par CAMI

  n=abc=100*a+10*b+c=33*(a+b+c)
  67*a=23*b+32*c
  Encore aucune solution possible ?

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• Avril 2019, 4e défi

  le 27 avril 2019 à 14:48, par Daniate

  Essayez avec 5, 9 et 4, ça devrait marcher.

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• Avril 2019, 4e défi

  le 27 avril 2019 à 18:34, par CAMI

  Ma réponse à la question posée est : il n’y a pas de solution hors du nombre 594 « initial ».
  Encore une fois j"ai mal interprété le texte du problème !

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• Avril 2019, 4e défi

  le 27 avril 2019 à 19:58, par Daniate

  Il n’y a bien qu’une solution. Le problème se ramène à résoudre deux équations.

  9a=5b d’où la solution 594

  9a=5b+32 qui n’a aucune solution avec des nombres à un chiffres.

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• Avril 2019, 4e défi

  le 27 avril 2019 à 16:46, par LALANNE

  Effectivement en plus des conditions de divisibilité du nombre de trois chiffres abc par 3 et 11 qui imposent a+c=b et a+b+c multiple de 3, il faut que la division de abc par 3*11 donne (a+b+c).
  594 divisé par 33 vaut 18 =5+9+4
  abc/(11*3)=a+b+c
  MERCI Daniate !

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