Un défi par semaine

Avril 2021, 1er défi

Le 2 avril 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 14

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Les côtés de l’hexagone régulier mesurent $1$ cm. Calculer la distance séparant les points $X$ et $Y$.

Solution du 4e défi de mars :

Enoncé

La réponse est $\dfrac{1}{9}$.

Il n’existe que six nombres à deux chiffres qui soient le carré d’un entier : $16$, $25$, $36$, $49$, $64$ et $81$.

Nous allons voir que, peu importe le nombre considéré, il existe un unique multiple de $11$ en ajoutant un chiffre à gauche du carré.

  • Notons que $100$ donne un reste de $1$ en effectuant la division euclidienne par $11$.

Pour $200$, nous aurons un reste de $2$ ; pour $300$, un reste de $3$ et ainsi de suite jusqu’à $900$, qui donnera un reste de $9$.

  • Puisque $16$ donne un reste de $5$, en lui ajoutant $600$, nous obtiendrons un multiple de $11$ (la somme des restes étant $5+6=11$).

$616$ est donc l’unique multiple de $11$ recherché.

Puisque $25$ donne un reste de $3$, il suffit de l’additionner à $800$ pour obtenir un multiple de $11$.

De la même manière, à $36$ il suffit d’ajouter $800$, à $49$ il faut ajouter $600$, à $64$ il faut ajouter $200$ et à $81$ il faut ajouter $700$ pour obtenir un multiple de $11$.

  • Nous avons vu qu’un seul chiffre des centaines est possible pour obtenir un multiple de $11$ en partant de chaque carré à deux chiffres.

La probabilité demandée est donc de $\frac{1}{9}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2021, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Avril 2021, 1er défi

    le 2 avril à 09:30, par bistraque

    Par construction, $BFD$ est équilatéral, donc $BXY$ aussi. Par les symétries de la figure, $AXB$ et $CYB$ sont isocèles. Donc $XY$ = $BX$ = $BY$ = $AX$ = $CY$.
    $XY$ = $AC/3$ = $1/3 cm$

    Répondre à ce message
  • Avril 2021, 1er défi

    le 2 avril à 09:38, par bistraque

    Bon je n’était pas réveillé :)
    Il manque $CY / CD$ = $tan 30°$. D’où $XY$ = $CY$ = $1/\sqrt{3} CD$ = $1/\sqrt{3}$

    Répondre à ce message

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