Enoncé

La réponse est $\dfrac{1}{\sqrt3}$ cm.

Les angles intérieurs d’un hexagone mesurent $120^\circ$. De plus, les triangles $FAB$, $ABC$ et $BCD$ sont isocèles et superposables, donc les angles $\widehat{ABF}$,
$\widehat{BAC}$, $\widehat{ACB}$ et $\widehat{DBC}$ mesurent tous $30^\circ$.

On en déduit en particulier que les triangles $AXB$ et $BYC$ sont isocèles, donc

$XA=XB$ et $YB=YC$ et, par symétrie,

$XA=XB=YB=YC$.

De plus, $\widehat{XBY}=\widehat{ABC}-\widehat{XBA}-\widehat{YBC}=120^\circ-2\times 30^\circ=60^\circ$.

Le triangle $XBY$ est donc isocèle avec un angle de $60^\circ$, il s’ensuit qu’il est équilatéral

et on a finalement $AX=XB=XY=YB=YC$.

Le triangle $ABY$ est rectangle en $B$. En utilisant le théorème dePythagore, on obtient l’égalité :
\[ \begin{eqnarray*} AB^2+BY^2 & = & AY^2\\ 1+BY^2 & = & (AX+XY)^2\\ 1+XY^2 & = & (2XY)^2. \end{eqnarray*}\]

Donc $3XY^2=1$ et $XY=\frac{1}{\sqrt3}$ cm.