Un défi par semaine

Avril 2021, 4e défi

Le 23 avril 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 17

Si $a$, $b$ et $c$ sont trois entiers distincts compris entre $1$ et $10$, quelle est la plus grande valeur
que $a(b+c)-b(a+c)$ peut atteindre ?

Solution du 3e défi d’avril :

Enoncé

La réponse est $129$ triangles.

La figure contient dix points oranges et six points violets. Le nombre de façons de choisir trois points oranges est ${10 \choose 3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1} = 120$ et le nombre de façons de choisir trois points violets est : ${6 \choose 3}=\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1} = 20$, on obtient donc un total de $120+20=140$ façons pour choisir trois sommets de la même couleur.

Cependant, on ne construit pas un triangle lorsque les sommets choisis sont alignés. Pour les sommets de couleur violette, il n’y a que deux triplets alignés (les points violets de la première colonne et les trois points violets en diagonale).

Concernant les points oranges, il faut enlever les deux triplets en diagonale, ceux de la première et la dernière ligne, celui de la deuxième colonne ainsi que les triplets choisis parmi la dernière colonne : comme elle contient quatre points, on peut constituer ${4\choose 3}=4$ triplets distincts.
Finalement, on peut construire $140-2-9=129$ triangles dont les sommets possèdent la même couleur.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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  • Avril 2021, 4e défi

    le 23 avril 2021 à 11:49, par Celem Mene

    Oui.

    Développons : a (b + c) - b (a + c) = ab + ac - ab - bc = ac - bc = c (a - b)

    Il faut donc minimiser b : b = 1

    et maximiser a et b qui doivent donc prendre 9 et 10 comme valeur.

    Maximiser d’abord c donne : 10 (9 - 1) = 80,
    maximiser a donne : 9 (10 - 1) = 81.

    Par conséquent a = 10, b = 9 et c = 1, et la plus grande valeur atteinte est 81.

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