Un défi par semaine

Avril 2021, 5e défi

Le 30 avril 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 18
Pour quels entiers $n$ le nombre $n^5-5n^3+4n$ est-il divisible par $120$ ?

Solution du 4e défi d’avril :

Enoncé

La réponse est $81$.

Remarquons que $a(b+c)-b(a+c)=ab+ac-ba-bc=c(a-b)$. Ainsi, on doit trouver la valeur maximale du produit
$c(a-b)$.
Étudions ce produit selon les valeurs possibles de l’entier $c$ :

  • Si $c=10$, alors $a-b\le 8$ car $a\not=c$, donc $a\le9$ et $b\ge1$. Ainsi, $c(a-b)\le10\times8=80$.
  • Si $c=9$, alors $a-b=9$ est maximal si $a=10$ et $b=1$, ce qui donne $c(a-b)=9\times9=81$.
  • Si $c\le8$, il est facile d’obtenir l’inégalité $c(a-b)\le 8\times 9 = 72$.

La plus grande valeur possible de $a(b+c)-b(a+c)$ est donc 81.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2021, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Avril 2021, 5e défi

    le 30 avril à 09:16, par Christophe Boilley

    Existe-t-il pour tout entier m > 0 un unique polynôme minimal à coefficients entiers et dont les coefficients sont globalement premiers entre eux (pas forcément deux à deux) dont toutes les valeurs sur Z soient divisibles par m ? Et si oui, est-il forcément scindé ? unitaire ?

    Répondre à ce message
    • Avril 2021, 5e défi

      le 30 avril à 09:37, par Christophe Boilley

      Pour vraiment avoir un polynôme minimal (donc unicité), il vaut mieux avoir des coefficients dans Z/mZ ou dans N.

      Répondre à ce message
  • Avril 2021, 5e défi

    le 30 avril à 09:27, par drai.david

    $x^5-5x^3+4x=x(x^4-5x^2+4)$.
    Soit $X=x^2$.
    $x^4-5x^2+4=X^2-5X+4=(X-4)(X-1)=(x^2-4)(x^2-1)$.
    D’où $x^4-5x^2+4=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$.
    Ainsi, $x^5-5x^3+4x=x(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)$.
    Parmi cinq entiers consécutifs, il y a toujours au moins un multiple de 2 et un multiple de 4 distincts, un multiple de 3 et un multiple de 5.
    Ainsi leur produit est toujours multiple de $2\times 4\times 3\times 5=120$.
    Conclusion : Tout entier $n$ convient.

    Répondre à ce message
    • Avril 2021, 5e défi

      le 1er mai à 11:49, par Niak

      Petite remarque au passage, vous montrez que $120 = 5!$ divise toujours le produit de $5$ entiers consécutifs.
      Plus généralement, $n!$ divise toujours le produit de $n$ entiers consécutifs :
      \[a(a+1)\cdots(a+n -1) = \frac{(a+n -1)!}{(a -1)!} = \binom{a+n -1}{n}\times n!\]

      Répondre à ce message

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