Un défi par semaine

Avril 2022, 1er défi

Le 1er avril 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 13

Considérons le nombre :
\[(5^5-1)(5^{55}-1)\cdots (5^{55\dots5}-1)\]
dans lequel il y a cent $5$ en exposant dans le dernier facteur.

Quel est l’exposant de $2$ dans la décomposition en facteurs premiers de ce nombre ?

Solution du 4e défi de mars 2022 :

Enoncé

Réponse : $7$ cm.

Un cube a huit sommets, donc un chemin qui passe par tous les sommets a au moins sept segments de droite. Comme le chemin est sur la surface du cube, ces segments sont soit des arêtes du cube, soit des diagonales d’une face du cube. Comme les premières sont plus courtes, un chemin avec sept arêtes est le plus court possible et sa longueur est de $7$ cm.

Une possibilité est celle de la figure :

PNG - 21 ko
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2022, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Avril 2022, 1er défi

    le 1er avril à 09:07, par Al_louarn

    Posons $f(k) = 5...5$ où le chiffre $5$ est répété $k$ fois.
    Alors le nombre étudié s’écrit $n=\Pi_{k=1}^{100}(5^{f(k)} - 1)$
    Or $5^{f(k)} - 1 = (4+1)5^{f(k)-1} - 1 = 4 \times 5^{f(k)-1} + 5^{f(k)-1} - 1$
    Comme $f(k)$ est impair le nombre $5^{f(k)-1}$ est un carré, ce qui permet d’utiliser une identité remarquable bien connue :
    $5^{f(k)-1} - 1 = (5^\frac{f(k)-1}{2} - 1)(5^\frac{f(k)-1}{2} + 1)$
    Comme toute puissance de $5$ est impaire, les facteurs entres parenthèses sont pairs. Mais ce sont des nombres pairs successifs donc l’un d’entre eux est aussi multiple de $4$. Donc $\dfrac{5^{f(k)-1} - 1}{4}$ est un entier pair et on peut factoriser $n$ sous la forme :
    $n = \Pi_{k=1}^{100}(4 \times 5^{f(k)-1} + 4 \times \dfrac{5^{f(k)-1} - 1}{4})$
    $n = \Pi_{k=1}^{100}2^2(5^{f(k)-1} + \dfrac{5^{f(k)-1} - 1}{4})$
    $n = 2^{200}\Pi_{k=1}^{100}(5^{f(k)-1} + \dfrac{5^{f(k)-1} - 1}{4})$
    L’expression entre parenthèses est toujours un entier impair donc la réponse est $200$.

    Répondre à ce message
    • Avril 2022, 1er défi

      le 1er avril à 10:39, par François

      On pourrait aussi utiliser l’identité $\displaystyle a^n-b^n=(a-b) \sum_{i=0}^{n-1} a^ib^{n-1-i}$.
      Ici $\displaystyle 5^{f(k)}-1=4 \sum_{i=0}^{f(k)-1} 5^i$. Or $\displaystyle \sum_{i=0}^{f(k)-1} 5^i$ est une somme d’un nombre impair d’entiers impairs et est donc impaire et on retrouve votre résultat $2^{200}$x impair

      Répondre à ce message
      • Avril 2022, 1er défi

        le 1er avril à 12:29, par Al_louarn

        Effectivement, et c’est plus élégant, merci.

        Répondre à ce message
    • Avril 2022, 1er défi

      le 1er avril à 11:22, par drai.david

      Bonjour,
      c’est nettement plus simple avec des congruences :
      $5^{2p+1}=(5^2)^p\times 5=25^p\times 5$.
      Or, $25^p\times 5\equiv 1\times 5\equiv 5 [8]$.
      D’où : $5^{2p+1} - 1\equiv 4 [8]$.
      Ainsi, chaque facteur du produit est multiple de 4 sans être multiple de 8.
      D’où la réponse au problème : 200.
      Mais poussons la recherche un peu plus loin : quelles sont les exposants de 3, 5, 7 et 11 ?
      Bonne recherche, si ça vous tente...
      Belle journée à vous.

      Répondre à ce message
  • Avril 2022, 1er défi

    le 1er avril à 19:32, par ROUX

    Toutes les puissances de $5$ se terminent par $25$ à partir de $5^2$.
    Toutes ces puissances de $5$ moins $1$ se terminent alors par $24$ et sont donc divisibles par $4$.
    Comme il y a $100$ facteurs et que $4=2^2$, il y a au moins $2^{200}$.
    En faisant quelques essais, je remarque que les puissances impairs de $5$ sont telles que $(5^{2p+1}-1)/4$ est un nombre impair.
    Je le démontre par récurrence à partir de $3$.
    $(125-1)/4=31$
    Check !
    Si $(5^{2p+1}-1)/4$ est un nombre impair, c’est que $(5^{2p+1}-1)/4=2K+1$ ou
    $5^{2p+1}=(8K+5)$
    $(5^{2(p+1)+1}-1)/4=(25.5^{2p+1}-1)/4$ ou
    $(5^{2(p+1)+1}-1)/4=(25.(8K+5)-1)/4$ ou
    $(5^{2(p+1)+1}-1)/4=(25.(8K+4)/4$ ou
    $(5^{2(p+1)+1}-1)/4=25.(2K+1)$ qui est aussi un nombre impair puisque $Impair.Impair=Impair$
    Check !
    Pas d’autre $2$ !
    $2^{200}$

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    • Avril 2022, 1er défi

      le 4 avril à 12:48, par claude

      Il y a une petite erreur à l’avant dernière ligne mais qui n’a pas d’impact sur le résultat final :
      (25(8k+5)-1)/4=(25(8k)+124)/4=
      50k+31 qui est un nombre impair

      Répondre à ce message

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