Un défi par semaine

Avril 2022, 2e défi

Le 8 avril 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 14

Combien vaut :
\[ \begin{align*} \left(1-\dfrac{1}{8^2}\right)&\times \left(1-\dfrac{1}{9^2}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{10^2}\right)\\ &\times\cdots \times\left(1-\dfrac{1}{70^2}\right)\,? \end{align*} \]

Solution du 1er défi d’avril 2022 :

Enoncé

Réponse : $200$.

Nous allons montrer que chacun des facteurs du nombre est divisible par $2^2=4$, mais pas par $2^3=8$.

Tout d’abord, comme le reste dans la division euclidienne de $5$ par $4$ est $1$, il en est de même pour toute puissance de $5$.

Ainsi, en retranchant $1$ comme dans les facteurs, chaque facteur est un multiple de $4$, donc de $2^2$.

Les restes dans la division des puissances de $5$ par $8$ sont $5$, $1$, $5$, $1$, etc. Toute puissance impaire de $5$ donne un reste de $5$ dans la division par $8$.

Ainsi, aucun des facteurs du nombre n’est divisible par $2^3$. Puisqu’il y a $100$ facteurs, et que chacun d’entre eux est divisible par $2^2$ mais pas par $2^3$, l’exposant de $2$ dans la décomposition en facteurs premiers du nombre est alors égal à $2\times100=200$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2022, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Avril 2022, 2e défi

    le 8 avril à 09:07, par François

    On écrit $\displaystyle \left ( 1-\frac {1} {k^2} \right )=\frac {(k-1)(k+1)} {k^2}$. Dans le produit presque tous les termes disparaissent. Il ne reste plus que $\displaystyle\frac {7.71} {8.70} = \frac {71} {80}$.
    La réponse est $\displaystyle \frac {71} {80}$.

    Répondre à ce message
  • Avril 2022, 2e défi

    le 8 avril à 11:45, par ROUX

    $(1-1/8^2)=((8^2-1)/8^2)=(8 1).(8-1)/8^2=9.7/8^2$
    Plus rapidement, $(1-1/9^2)=10.8/9^2$ et $(1-1/10^2)=9.11/10^2$
    Les deux $9$ du dénominateur $1/9^2$ seront annihilés par les deux $9$ des numérateurs à gauche et à droite.
    Et ainsi de suite, les numérateurs et les dénominateurs s’annihileront en $1$, comme la matière et l’anti-matière en $Lumière$ !
    Mais, pour la première fraction $(1-1/8^2)$, il restera le $7$ et un des deux $8$ (celui qui aurait été annihilé par la fraction manquante à gauche : $6.8/7^2$) et pour la dernière fraction égale en fait à $69.71/70^2$, il reste le $71$ et l’un des $70$ qui auraient été annihilés par $70.72/71^2$, la fraction manquante à droite.
    Il reste donc au total $(7/8).(71/70)$.
    Ah.
    Tiens.
    Numérateur, dénominateur, matière et anti-matière.
    Mais trouver un autre mot que « annihilé » car on entend « nul » donc « zéro » et il vaudrait mieux entendre « un » ?

    Répondre à ce message

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