Un défi par semaine

Avril 2022, 3e défi

Le 15 avril 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 15
Avec des petits carrés de même taille, on construit une mosaïque carrée dont $1616$ petits carrés bleus forment les deux diagonales, tous les autres petits carrés étant rouges. Combien a-t-on utilisé de petits carrés rouges ?

Solution du 2e défi d’avril 2022 :

Enoncé

Réponse : $\dfrac{71}{80}$.

Nous pouvons écrire chaque facteur comme :
\[1-\frac{1}{n^2}=\frac{n^2-1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}.\]
Ainsi, le produit est égal à :
\[ \frac{(7\times 9)(8\times 10)(9\times 11)\cdots(69\times 71)}{8^2\times 9^2\times 10^2\times \cdots \times 70^2}. \]
En simplifiant tous les facteurs présents au numérateur et au dénominateur, on obtient :
\[ \frac{7\times 71}{8\times 70}=\frac{71}{80}. \]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2022, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Avril 2022, 3e défi

    le 15 avril à 07:35, par Kamakor

    Si on utilise $4n$ carrés bleus pour former les deux diagonales c’est que le bord du carré compte $2n$ carrés. Par conséquent, la mosaïque est composée de $(2n)^2=4n^2$ carrés dont $4n^2-4n=4n(n-1)$ sont rouges.
    Donc si la mosaïque compte $1616$ carrés bleus, on obtiendra $4\times 404 \times 403=651\,248$ carrés rouges.

    Répondre à ce message
    • Avril 2022, 3e défi

      le 15 avril à 08:32, par claude

      Il y a 808 carrés sur une diagonale, donc 2x808 carrés bleus .
      Au total il y a donc 808^2 carrés bleus et rouges.
      Le nombre de carrés rouges est donc de :
      808(808-2)=651248

      Répondre à ce message
  • Avril 2022, 3e défi

    le 15 avril à 09:29, par ROUX

    D’abord une inquiétude car je trace dans ma tête une mosaïque carrée avec un petit carré commun aux deux diagonales donc j’estime que le nombre de petits carrés sur les deux diagonales devrait être impair...
    Oups.
    Alors, rapidement, je dessine sur du papier une mosaïque carrée de $3$ puis une de $4$ petits carrés de côté, et, de ${{oup}}s$ à ${{ouf}}$, le problème posé a une solution : le nombre de petits carrés du côté doit être pair, le croisement des diagonales se fait avec un carré de $2.2$ petits carrés et sera d’ailleurs égal au nombre de petits carrés d’un côté.
    Oh bah dis-donc, les triangles discrets (lien) ne respectent vraiment rien : Pythagore ne fonctionne pas et j’ai un triangle équilatéral dont les angles sont $90°$, $45°$ et $45°$ !
    Bref.
    Une diagonale fait donc $1616/2$ petits carrés soit $808$ petits carrés ; il y a donc $808^2$ petits carrés auxquels je soustrais $1616$.
    La réponse est $651248$.

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