Un défi par semaine

Avril 2022, 4e défi

Le 22 avril 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 16

Soit $ABC$ un triangle et considérons la bissectrice de l’angle $\widehat A$ qui coupe le côté $[BC]$ au point $D$. Si $CD+CA=12$ cm et $CD=\dfrac{1}{3} BC$, quel est le périmètre du triangle ?

Solution du 3e défi d’avril 2022 :

Enoncé

Réponse : $651\,248$.

Puisqu’il y a au total $1616$ carrés bleus pour les deux diagonales, chaque diagonale est faite avec $808$ carrés. La taille de la mosaïque est donc de $808\times 808$.

Le nombre de carrés rouges est donc de $808^2-1616=651\,248$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Avril 2022, 4e défi

    le 22 avril à 10:25, par Kamakor

    Un théorème (qui découle du théorème de Thalès) dit que l’on a $\,\dfrac{BA}{CA}=\dfrac{BD}{CD}\,$ d’où $\,\dfrac{BA}{CA}=2\,$ et donc $\,BA=2CA$.
    De plus on sait que $\,CD=\dfrac{1}{3}BC\,$ soit $\,BC=3CD\,$ donc $\,BD=BC-CD=3CD-CD=2CD$
    Dès lors, on obtient le périmètre :

    $AB+BC+CA=AB+BD+DC+CA=2CA+2DC+DC+CA=3(CD+CA)=3\times 12= 36\, \text{cm}$

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    • Avril 2022, 4e défi

      le 22 avril à 10:46, par Kamakor

      Bien sûr dans mon raisonnement, il faut commencer par dire que $BD=2CD$ puisqu’on l’utilise pour obtenir $BA = 2CA$

      Répondre à ce message
  • Avril 2022, 4e défi

    le 25 avril à 14:17, par orion8

    Les deux triangles $ABD$ et $ACD$ ont même hauteur ; comme $BD=2\times CD$, on en déduit que : $aire(ABD)=2\times aire(ACD)$, soit : $ \frac{1}{2}AB \times AD.sin(\alpha) = 2 \times \frac{1}{2} \times AC \times AD. sin(\alpha)$ en posant $\alpha = \frac{1}{2} \hat{A}$.
    D’où : $AB = 2 \times AC$, d’où : $BA + BD = 2(CA + CD) = 2 \times 12 = 24$.
    On retrouve bien un périmètre de $24 + 12 = 36$.

    Répondre à ce message

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