Enoncé

La réponse est $22$ triplets.

En utilisant les critères de divisibilité, on va estimer les valeurs possibles des chiffres pour ensuite analyser chacune des possibilités.

Soit $a$, $b$ et $c$ trois chiffres et $p$ le nombre qui s’écrit $579abc$. Comme $p$ est divisible par 5, $c$ peut seulement prendre les valeurs 0 ou 5. Comme $p$ est divisible par 9, la somme de ses chiffres est aussi divisible par 9, c’est-à-dire que le nombre $x = 5+7+9+a+b+c = 21+a+b+c$ est divisible par 9.
De plus, comme $0\leq a\leq 9$, $0\leq b\leq 9$ et $c$ est $0$ ou $5$, on a
\[ 21\leq x\leq 21+9+9+5 = 44. \]
Ainsi, $x$ est égal à 27 ou 36, c’est-à-dire que la somme des chiffres de $p$ est 27 ou 36.

• Supposons $c=0$. On a alors $x= 21+a+b = 27$ ou $x= 21+a+b = 36$.

Dans le premier cas $a+b = 6$, alors $(a,b)$ peut être égal à $(0,6)$, $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$, $(6,0)$. Cela veut dire qu’il y a 7 nombres possibles.

Dans le deuxième cas $a+b = 15$, ce qui implique quatre possibilités pour la paire $(a,b)$ : $(6,9)$, $(7,8)$, $(8,7)$ et $(9,6)$.

• Supposons que $c=5$. On a alors $x=21+a+b+5=27$ ou $x=21+a+b+5=36$. Dans le premier cas $a+b=1$, de sorte qu’il y a deux possibilités pour $(a,b)$ : $(0,1)$ et $(1,0)$. Dans le deuxième cas $a+b=10$, on a neuf possibilités pour $(a,b)$ : $(1,9)$, $(2,8)$, $(3,7)$, $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$, $(7,3)$, $(8,2)$ et $(9,1)$.

Par conséquent, il y a $7+4+2+9=22$ triplets que l’on peut ajouter à droite de 579 pour que le nombre obtenu soit divisible par 5 et par 9.