Un défi par semaine

Avril 2014, 3ème défi

Le 18 avril 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

Un quadruplet ordonné de chiffres $(a,b,c,d)$ est dit « centenaire », s’il satisfait $(10a+b)+(c+d)=(10c+d)+(a+b)=100$. Combien de quadruplets « centenaires » y a-t-il ?

Solution du 2ème défi d’Avril

Enoncé

La réponse est $22$ triplets.

En utilisant les critères de divisibilité, on va estimer les valeurs possibles des chiffres pour ensuite analyser chacune des possibilités.

Soit $a$, $b$ et $c$ trois chiffres et $p$ le nombre qui s’écrit $579abc$. Comme $p$ est divisible par 5, $c$ peut seulement prendre les valeurs 0 ou 5. Comme $p$ est divisible par 9, la somme de ses chiffres est aussi divisible par 9, c’est-à-dire que le nombre $x = 5+7+9+a+b+c = 21+a+b+c$ est divisible par 9.
De plus, comme $0\leq a\leq 9$, $0\leq b\leq 9$ et $c$ est $0$ ou $5$, on a
\[ 21\leq x\leq 21+9+9+5 = 44. \]
Ainsi, $x$ est égal à 27 ou 36, c’est-à-dire que la somme des chiffres de $p$ est 27 ou 36.

  • Supposons $c=0$. On a alors $x= 21+a+b = 27$ ou $x= 21+a+b = 36$.

Dans le premier cas $a+b = 6$, alors $(a,b)$ peut être égal à $(0,6)$, $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$, $(6,0)$. Cela veut dire qu’il y a 7 nombres possibles.

Dans le deuxième cas $a+b = 15$, ce qui implique quatre possibilités pour la paire $(a,b)$ : $(6,9)$, $(7,8)$, $(8,7)$ et $(9,6)$.

  • Supposons que $c=5$. On a alors $x=21+a+b+5=27$ ou $x=21+a+b+5=36$. Dans le premier cas $a+b=1$, de sorte qu’il y a deux possibilités pour $(a,b)$ : $(0,1)$ et $(1,0)$. Dans le deuxième cas $a+b=10$, on a neuf possibilités pour $(a,b)$ : $(1,9)$, $(2,8)$, $(3,7)$, $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$, $(7,3)$, $(8,2)$ et $(9,1)$.

Par conséquent, il y a $7+4+2+9=22$ triplets que l’on peut ajouter à droite de 579 pour que le nombre obtenu soit divisible par 5 et par 9.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de avril, Les lacs de Wada par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2014, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les lacs de Wada, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Avril, 3ème défi

    le 22 avril 2014 à 15:06, par Daniate

    Rassurez-vous, je reconnais la valeur de vos efforts et les 9 réponses font suite à un travail qui, je l’espère, ont su procurer le plaisir de la recherche au non-matheux que vous dites être. Ma remarque précédente n’avait pour but que de vous renseigner sur la notion de quadruplet et il est fort possible que l’auteur du défi n’est ajouté le mot ordonné que pour enfoncer le clou ( de même que l’ancien prof de math que je suis disait régulièrement « entier naturel » à ses élèves, alors que tous les naturels sont des entiers). Votre réponse serait alors tout à fait valable.

    Aviez vous remarqué que les 2 premiers membres de la double égalité se réduisaient à 9a=9c et donc a=c, puis qu’il ne restait que l’égalité 11a+b+d=100, comme b+d<=18 alors 11a>=82 soit a=8 ;b+d=12 soit a=9 ;b+d=1 ?

    Répondre à ce message

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