Un défi par semaine

Avril 2014, 3ème défi

Le 18 avril 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

Un quadruplet ordonné de chiffres $(a,b,c,d)$ est dit « centenaire », s’il satisfait $(10a+b)+(c+d)=(10c+d)+(a+b)=100$. Combien de quadruplets « centenaires » y a-t-il ?

Solution du 2ème défi d’Avril

Enoncé

La réponse est $22$ triplets.

En utilisant les critères de divisibilité, on va estimer les valeurs possibles des chiffres pour ensuite analyser chacune des possibilités.

Soit $a$, $b$ et $c$ trois chiffres et $p$ le nombre qui s’écrit $579abc$. Comme $p$ est divisible par 5, $c$ peut seulement prendre les valeurs 0 ou 5. Comme $p$ est divisible par 9, la somme de ses chiffres est aussi divisible par 9, c’est-à-dire que le nombre $x = 5+7+9+a+b+c = 21+a+b+c$ est divisible par 9.
De plus, comme $0\leq a\leq 9$, $0\leq b\leq 9$ et $c$ est $0$ ou $5$, on a
\[ 21\leq x\leq 21+9+9+5 = 44. \]
Ainsi, $x$ est égal à 27 ou 36, c’est-à-dire que la somme des chiffres de $p$ est 27 ou 36.

  • Supposons $c=0$. On a alors $x= 21+a+b = 27$ ou $x= 21+a+b = 36$.

Dans le premier cas $a+b = 6$, alors $(a,b)$ peut être égal à $(0,6)$, $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$, $(6,0)$. Cela veut dire qu’il y a 7 nombres possibles.

Dans le deuxième cas $a+b = 15$, ce qui implique quatre possibilités pour la paire $(a,b)$ : $(6,9)$, $(7,8)$, $(8,7)$ et $(9,6)$.

  • Supposons que $c=5$. On a alors $x=21+a+b+5=27$ ou $x=21+a+b+5=36$. Dans le premier cas $a+b=1$, de sorte qu’il y a deux possibilités pour $(a,b)$ : $(0,1)$ et $(1,0)$. Dans le deuxième cas $a+b=10$, on a neuf possibilités pour $(a,b)$ : $(1,9)$, $(2,8)$, $(3,7)$, $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$, $(7,3)$, $(8,2)$ et $(9,1)$.

Par conséquent, il y a $7+4+2+9=22$ triplets que l’on peut ajouter à droite de 579 pour que le nombre obtenu soit divisible par 5 et par 9.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de avril, Les lacs de Wada par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2014, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les lacs de Wada, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Avril, 3ème défi

    le 22 avril 2014 à 15:36, par ROUX

    Oui, c’est exactement la méthode que j’ai utilisée.

    Répondre à ce message

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