Un défi par semaine

Avril 2014, 4ème défi

El 25 abril 2014  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 17 :

Quel est l’entier le plus grand qui divise la somme des carrés de
trois nombres pairs consécutifs quelconques?

Solution du 3ème défi d’Avril

Enoncé

La réponse est 9 quadruplets.

Soit $(a,b,c,d)$ un quadruplet «centenaire». Alors

$(10a+b)+(c+d)=(10c+d)+(a+b)=100,$

c’est-à-dire $10a+c=10c+a=100-(b+d)$. On en déduit $a=c$, et $11a=100-(b+d)$.
Comme $b+d \leq 18$, on a $11a \geq 100-18=82$, d’où $a\geq 8$.

On a deux cas:

  1. Si $a=c=8$, on a alors $80+b+8+d=100$, d’où $b+d=12$. On obtient ainsi 7 quadruplets «centenaires» : $(8, 3, 8, 9)$; $(8, 4, 8, 8)$; $(8, 5,8, 7)$; $(8, 6,8, 6)$; $(8, 7,8, 5)$; $(8, 8,8, 4)$ et $(8, 9, 8, 3)$.
  2. Si $a=c=9$, on a alors $90+b+9+d=100$, d’où $b+d=1$. On obtient ainsi deux quadruplets «centenaires»: $(9, 0,9, 1)$ et $(9, 1,9, 0)$.

Par conséquent, il y a 9 quadruplets «centenaires».

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de avril, Les lacs de Wada par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Avril 2014, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Les lacs de Wada, par Jos Leys

Comentario sobre el artículo

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  • Avril, 4ème défi

    le 29 de abril de 2014 à 00:19, par Daniate

    J’ai mené ce calcul en factorisant 4. La somme (en posant n=2p) devient 4((p-1)²+p²+(p+1)²)=4(3p²+2). 4 devient diviseur évident. Un autre diviseur universel diviserait 3p²+2 pour tout p entre autre 5 (p=1) et 12 (p=2) premiers entre eux.

    Toutefois, cet argument est inutile. Le contraire de «pour tout» est «il existe au moins un qui ne ....». Avec cette remarque il suffit de considérer la plus petite somme 2²+4²+6²=56 et la suivante 4²+6²+8²=56-4+64=56+60. le diviseur cherché doit diviser 56 et 60, or il n’y a que 4 et ses diviseurs

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