Connaissez-vous ce jeu des «points à relier» où, à partir de certains points numérotés sur une feuille, on y dessine des figures ? On prend un crayon et on trace des segments ayant pour extrémités deux points successifs : du point 1 au point 2, du point 2 au point 3 et ainsi de suite. D’abord on ne voit que des points placés de façon désordonnée et on peut seulement essayer de deviner la figure qui se cache derrière. Peu à peu, on dessine les segments, on découvre ce qu’on est en train de représenter et finalement l’énigme se dévoile lorsqu’on arrive au dernier numéro.
En topologie on appelle totalement discontinus les ensembles comme celui des points du jeu, avant de commencer, (où l’ensemble est constitué des points isolés les uns des autres) et connexes par arcs les ensembles qui contiennent, pour chaque couple de points, un chemin qui part du premier et arrive au deuxième. On peut donc dire que notre jeu consiste à prendre un espace totalement discontinu et le transformer en un espace connexe par arcs suivant une règle bien précise, la numérotation de points. Cette idée est à la base d’une des théories les plus fructueuses qui ont été récemment formulées : les espaces de Berkovich [1]. La forme de ces espaces a été assimilée à un balai dans un autre article sur ce site. Et on voit bien qu’un balai est connexe par arcs.

Les distances qui séparent les nombres

Quels points veut-on relier pour obtenir un espace de Berkovich ? Pour comprendre l’idée de la construction, il faut d’abord donner un ensemble totalement discontinu de départ. Pour décrire cet ensemble il faut utiliser l’idée de distance, qui est liée classiquement à celle de valeur absolue. Par définition, une distance sur un ensemble $K$ est une application qui à chaque couple d’éléments $x$ et $y$ dans $K$, associe un nombre (réel) positif $d(x,y)$, tel que :

• $d(x,x)=0$ et si $d(x,y)=0$ alors $x=y$,
• $d(x,y)=d(y,x)$ pour chaque couple d’éléments $x$ et $y$ dans $K$,
• $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ pour chaque triplet d’éléments $x$, $y$ et $z$ dans $K$.

Essayons de comprendre avec des exemples ce qui se cache derrière la technicité de cette définition. On peut considérer la distance qui, pour chaque couple de nombres rationnels $x$ et $y$, est telle que $d(x,y)=|y-x|$, c’est-à-dire $d(x,y)=x-y$ si $x\geq y$ et $d(x,y)=y-x$ si $y\geq x$. Ce qu’il en sort est toujours un nombre positif et les propriétés mentionnées sont respectées : $d(3,3)=3-3=0$, $d(2,1)=2-1=1$, $d(1,2)=2-1=1$, $d(-1, 1)=2$, $d(-1,0)+d(0,1)=1+1=2$ mais $d(-1,2)+d(2,1)=3+1=4>2$ et ainsi de suite. Pour visualiser cette distance imaginons une droite où sont positionnés tous les nombres rationnels : la distance entre deux nombres rationnels $x$ et $y$ dans l’exemple correspond à la longueur du segment d’extrémités $x$ et $y$.

La distance 3-adique

Avec un peu de fantaisie (qualité dont les mathématiciens ne sont pas dépourvus) on peut imaginer une distribution différente des nombres rationnels dans l’espace. Par exemple, on peut disposer 0, 1 et 2 dans un triangle équilatéral (de côté 1) comme illustré dans la figure:

ensuite on coupe ce triangle en des triangles équilatéraux trois fois plus petits, aux extrémités desquels on place les nombres qui suivent : 3, 4, 5, 6, 7, 8

et on peut continuer ainsi en découpant le triangle et en plaçant suivant ce critère tous les autres nombres entiers positifs.

On remarque dans le dessin que les nombres divisibles par 3 se trouvent tous en haut, ceux dont la division par 3 donne un reste égal à 1, en bas à gauche et ceux dont la division donne 2 en bas à droite. De plus, les nombres divisibles par $3^2$ se situent dans le petit triangle en haut dans le triangle des nombres divisibles par 3 et ainsi de suite. En d’autres mots, on est en train de disposer les entiers suivant leurs propriétés arithmétiques par rapport aux puissances de 3.
Or, pour chaque couple de rationnels $x$ et $y$, considérons le plus petit triangle qui contient à la fois $x$ et $y$. Si on associe à $x$ la longueur d’une arête de ce triangle, voici qu’on a une distance, qu’on note $d_3(x,y)$. Par exemple :

• $d_3(1,0)=1$
• $d_3(4,1)=\frac{1}{3}$
• $d_3(18,0)=\frac{1}{9}$
• $d_3(20,1)=1$

Ainsi, 18 est plus proche de zéro que 1 ?? Oui ! Dans ce système, les nombres successifs dans la numérotation ne sont pas forcément plus proches de ceux qui les suivent.

Généralisation

À la place du triangle, on peut commencer avec un carré, un pentagone, un hexagone et faire le même jeu : on obtiendra une autre distance. En général, le procédé marche avec n’importe quel polygone régulier à $n$ côtés. La distance ainsi obtenue est notée $d_n$ et elle est appelée distance n-adique. Celle-ci peut être étendue à tout nombre rationnel (mais pour cela il faudra rajouter des polygones plus grands).
Voici une propriété exotique de la distance n-adique : «chaque point d’une boule en est le centre». Que veut-elle dire ? On appelle boules les ensembles de la forme \[B(c, r)=\{x:d_n(x, c)\leq r\}\], on dit que $c$ est le centre et que $r$ est le rayon.
Dans le cas de la distance 3-adique, $B(c, r)$ est le triangle à coin noir contenant $c$, ayant des arêtes de longueur $r$. Par exemple, la boule 3-adique de centre 4 et rayon 1/3 contient, entre autres, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 et 25 (triangle en bas à gauche). Les éléments de cette liste qui sont aussi dans la boule 3-adique de centre 7 et rayon 1/9 sont 4, 13 et 22 (petit triangle en bas à gauche).
On s’aperçoit que, si on prend n’importe quel point $d$ dans $B(c,r)$, et qu’on regarde $B(d, r)$, il s’agit du triangle à coin noir contenant $d$ avec des arêtes de longueur $r$. Mais c’est alors le même que celui contenant $c$, car $d$ est aussi dedans. En formules nous écrivons \[B(c, r)=B(d, r) \mbox{ pour tout } d\in B(c,r),\]
en mots nous disons «chaque point d’une boule en est le centre». Cette propriété n’est pas une simple curiosité, elle se révélera utile pour la suite.

Entiers p-adiques

Considérons la distance p-adique, avec p nombre premier. En rajoutant un point pour chaque morceau infiniment petit on obtient un ensemble qui contient les entiers mais aussi d’autres éléments [2]. Il est appelé ensemble des entiers p-adiques et a été découvert vers la fin du XIX siècle par Hensel [3]. L’ensemble des entiers p-adiques se note $\mathbb{Z}_p$ Ces nombres, déjà évoqués ici pour $p=5$, jouent un rôle très important dans l’arithmétique, avec des applications à d’autres domaines des mathématiques, à la physique, à la biologie et mêmes aux neurosciences [4].
Ce qu’il faut retenir est que tout ce qu’on a dit marche pour n’importe quel nombre premier. Les triangles sont seulement une façon de visualiser des phénomènes qui se produisent dans plusieurs situations, mathématiques ou non mathématiques.

Reliez les points !

En regardant le dessin qui représente les nombres 3-adiques, on se convainc facilement qu’il s’agit d’un ensemble totalement discontinu : chaque point est un morceau détaché des autres, même s’il y a des points infiniment proches entre eux (par contre, quand on positionne les nombres sur la droite on obtient un unique morceau). Comment résoudre ce problème? Une idée est celle de rajouter des segments, mais il faut le faire avec un critère, qui ne casse pas la délicate géométrie intrinsèque des nombres p-adiques. La solution qui a été proposée par Vladimir Berkovich à la fin des années 1980 a rencontré la faveur d’une grande partie de la communauté mathématique. Son idée était, en même temps, simple et efficace.
Il proposait de rajouter à l’ensemble des nombres p-adiques un point pour chaque boule centrée en chaque nombre p-adique, c’est-à-dire un point pour tout ensemble \[B(x, r)=\{y\in \mathbb{Z}_p : d_p(x,y)\leq r\} \mbox{ pour tout } 0\leq r\leq 1\mbox{ et } x\in \mathbb{Z}_p.\]
Or, regardons l’exemple 3-adique : un triangle «dessiné» correspond à une boule avec $r=1/3^n$ pour un certain $n$, et donc dans l’espace de Berkovich il y aura un point pour chacun de ces triangles. Mais même si $r$ n’est pas de cette forme, le point qui correspond à $B(c, r)$ est rajouté malgré tout. En outre, un ensemble de points (ou de boules : pour Berkovich c’est la même chose) de la forme \[\{B(c, r) : \frac{1}{3^{n+1}}\leq r \leq \frac{1}{3^{n}} \}\]
est représenté par un segment continu, d’extrémités $B(c, 1/3^{n+1})$ et $B(c, 1/3^n)$. On a donc, pour chaque couple de triangles, un segment qui les relie dans l’espace de Berkovich.

Essayons de comprendre comment cette construction peut produire un espace connexe par arcs : fixons donc deux points $P_1$ et $P_2$ et regardons comment construire un chemin qui les relie.
Soit $\rho= d_3(P_1-P_2)$. Cela veut dire que le plus petit triangle qui contient $P_1$ et $P_2$ a des arêtes de longueur $\rho$. On a un point qui représente ce triangle, correspondant à l’ensemble $B(P_1, \rho)$. Mais il y a aussi un segment contenu dans l’espace de Berkovich ayant pour extrémités $P_1$ et $B(P_1, \rho)$. C’est l’ensemble de tous les points de la forme $B(P_1, r)$ avec $0\leq r \leq \rho$. De la même façon, il existe un segment reliant $B(P_2, \rho)$ avec $P_2$. Apparemment ces deux segments n’ont pas de lien, mais voilà la magie : on a dit que pour la distance p-adique tout point d’une boule en est le centre, donc $B(P_2, \rho)$ est le même point que $B(P_1, \rho)$ : on trouve bien un chemin qui relie les deux.

Cela peut se faire pour chaque couple de points. L’espace de Berkovich est bien un joli espace connexe par arcs qui ressemble, dans notre exemple, à un buisson ou aux racines d’un arbre. Dans d’autres situations il est plutôt assimilable à un balai.

Applications

La connexité par arcs n’est pas la seule caractéristique qui permet des applications des espaces de Berkovich à d’autres mathématiques, mais c’est sans doute un élément important.

Par exemple, c’est grâce à cela que Berkovich a développé sur ses espaces une théorie de l’intégration des formes différentielles le long de chemins, analogue à celle usuelle.

Plus généralement, ces espaces ont permis l’introduction de plusieurs objets analogues à ceux de la géométrie complexe. Exemples d’avatars dont les réalisations p-adiques vivent sur les espaces de Berkovich sont les fonctions harmoniques, les fonctions lisses, les mesures, dont la définition a permis de montrer des théorèmes d’équidistribution sur les variétés p-adiques (analogues à ceux présentés ici), notamment grâce aux travaux de Chambert-Loir et Thuillier. À partir d’une fonction rationnelle $f$ et d’un point $P$ sur une variété, ces théorèmes permettent de déterminer la convergence des mesures de probabilité associées aux orbites de $P$ ( [5]).
Citons enfin des liens avec la géométrie tropicale. Si on considère une courbe algébrique p-adique, on peut en regarder une tropicalisation, qui est un graphe qui lui est associé (voir par exemple cette présentation). Il existe aussi une façon pour associer à la même variété un espace de Berkovich, appelé son analytification, qui ressemble topologiquement à la tropicalisation. Par exemple, les deux ont le même type d’homotopie, comme on voit dans les images pour le cas d’une courbe elliptique d’équation de Weierstrass $y^2= x^3+ x^2 + t^4$. À gauche est représentée l’une de ses tropicalisations, à droite son analytification.

La richesse intrinsèque des espaces de Berkovich se mélange ainsi avec celle provenant d’autres structures mathématiques. Ce métissage de théories s’est révélé très fécond au sens où il a permis de prouver plusieurs conjectures difficiles et ouvertes depuis longtemps. On y compte notamment la résolution d’une conjecture de Deligne des années ’70 sur les faisceaux des cycles évanescents [6]
Au-delà de la grande quantité de notions qu’il faudrait définir pour donner les énoncés précis, il est intéressant de remarquer que ces conjectures ont été formulées dans un langage autre que celui de Berkovich. La théorie de Berkovich, tout en gardant son originalité, trouve sa place dans un contexte préexistant, celui des espaces totalement discontinus, et rajoute des outils qui permettent de montrer de nouveaux résultats [7].
Cela, grâce à la possibilité de travailler sur des points auparavant «cachés». Utiles et amusants, donc : peut-on imaginer des meilleures conditions pour un sujet de recherche ?