C’est pourtant simple !

Le 7 octobre 2011  - Ecrit par  Sylvain Barré Voir les commentaires (75)

Tout est si simple quand on a compris. Quand après des heures, des mois, des années
de travail, on finit par voir les objets sous le bon angle.
Amis lecteurs, professionnels des maths ou amateurs, je vous soumets ici un
petit problème qui illustre parfaitement la révélation qui s’opère quand on a enfin compris,
quand on se pose enfin les bonnes questions...

C’est un collègue Russe, Vladimir Vatutin, invité à Vannes, qui me l’a soumis : j’ai adoré !
Le problème est le suivant. Vous avez un verre en main et vous vous trouvez devant
un immeuble de 100 étages. Vous vous demandez alors :

" à partir de quel étage le verre jeté de
la fenêtre se cassera-t-il ?". Voilà une question bien naturelle !

Si vous ne pouvez sacrifier qu’un seul verre, la seule stratégie
est de tester les étages un par un, en remontant. Votre ami qui lui aussi a un verre
en main vous propose son verre pour accélérer l’expérience. Le jeu consiste alors
à trouver une stratégie qui donne le nombre minimal de lancers,
pour répondre à la question de façon certaine (en cassant au plus 2 verres) dans tous les cas. Effectivement, on peut gagner
beaucoup d’essais grâce au second verre. Par exemple, on peut jeter un verre du cinquantième
étage et n’avoir alors plus qu’au plus 50 étages à tester. Cela donne alors une solution en moins de
51 lancers (la pire des situations étant celle où le verre ne casse même pas du 100 ème étage). Mais il y a bien mieux ! Lancer le premier verre au 10 ème, puis au 20 ème s’il ne se casse pas, et ainsi de suite de 10 en 10. Puis dès qu’il se casse, on utilise le second pour affiner la fourchette dans l’intervalle déterminé en testant au plus 9 étages intermédiaires. Cela fait
au plus 19 lancers !
On a l’impression que les stratégies vont dépendre de l’arithmétique de ce nombre d’étages.
Pour garder le suspens, je ne donnerai la solution à ce problème que dans 2 jours. Je dis seulement
qu’on peut faire mieux que
19. Mais d’ici là,
si vous avez d’autres petits problèmes de ce genre, qui semblent, d’un prime abord d’une
assez grande complexité, mais qui, après coup sont très accessibles n’hésitez
pas à commenter ce billet pour les faire partager au plus grand nombre.

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Pour citer cet article :

Sylvain Barré — «C’est pourtant simple !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Commentaire sur l'article

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  • C’est pourtant simple ! SOLUTION

    le 10 octobre 2011 à 15:31, par Menura

    C’est 129 étages max avec 3 verres en moins de 9 lancers ou bien plutôt 129 étages max avec 3 verres et au plus 9 lancers ?
    Est-ce que c’est aussi 133 étages max avec 4 verres et au plus 7 lancers ?
    Moi ce que j’aimerais c’est une jolie formule qui permette de trouver le nombre L de lancers minimal connaissant le nombre E d’étages et le nombre V de verres. Puisque le propre du mathématicien est de généraliser, ça devrait pas vous poser de problème à vous (parce que à moi si, hélas !).
    En tout cas, je remarque que je n’ai pas la chance qu’on me lise comme le bon élève premier de la classe Jonas qui a trouvé tout de suite, lui. Ma petite formule, elle a pas l’air de vous intéresser du tout. Je suis triste, j’avais pourtant essayé de faire l’effort de m’ouvrir l’esprit en me creusant les méninges comme vous me l’aviez hautement et délicieusement recommandé.
    Doit-on en tirer la moralité : l’internet, c’est comme l’école, en résumé, réservé aux meilleurs, les autres, taisez-vous et démerdez-vous ? Mais il est vrai que « partager son plaisir avec son entourage... ça, ce n’est pas facile ! »

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