[Rediffusion d’un article publié en 2011]

Clarté et compréhension

William Thurston

Piste verte Le 3 juin 2020  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (22)
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[Rediffusion d’un article publié en 2011]

William Thurston est l’un des mathématiciens les plus importants du vingtième siècle.

Dans les années 70, un grand nombre de mathématiciens essayent péniblement de construire des objets mathématiques qu’on appelle des feuilletages ; ils y parviennent peu à peu mais les progrès sont lents. C’est à cette époque que le jeune Thurston, en très peu de temps, stupéfie les spécialistes : il construit en quelque sorte tous les feuilletages, d’un coup, sans laisser de miettes. Les experts sont médusés, et même … écœurés : il leur faut déserter le terrain, désormais stérile. Bien des années plus tard, Thurston regrettera cet épisode de sa vie scientifique qui a découragé plus d’un collègue.

A la fin des années 70 et au début des années 80, il révolutionne notre manière de penser la topologie des espaces de dimension 3 en apportant d’incroyables outils en provenance de la géométrie non-euclidienne. Par exemple, il place la fameuse conjecture de Poincaré dans un contexte grandiose qui permettrait une véritable compréhension globale du paysage. Il obtient la médaille Fields en 1982. Son influence sur la communauté mathématique est extraordinaire. La « conjecture de géométrisation de Thurston » sera finalement démontrée en 2004 par Perelman, livrant du même coup la conjecture de Poincaré.

Au delà de ses résultats, Thurston propose une manière nouvelle de communiquer les mathématiques. On lui a beaucoup reproché, et on lui reproche encore, de ne pas avoir publié ses preuves en se pliant aux habitudes de la profession, en suivant les règles strictes imposées par les revues mathématiques. Ses notes polycopiées (tapées à la machine à écrire) ont un style unique qui a profondément influencé toute une génération de topologues. Les dessins, parfois de vulgaires gribouillis, sont par exemple intimement mêlés au texte.

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Les notes étaient envoyées très régulièrement, au fur et à mesure de leur rédaction, à plus de mille mathématiciens, à une époque où internet n’existait pas. Tant d’autres mathématiciens avaient (et ont encore) d’autres habitudes : garder secrètes les versions préliminaires de leurs travaux, ou se contenter de ne les montrer qu’à quelques amis sûrs. Avec ces notes, nous avions tous l’impression d’être un « ami de Bill Thurston » !

Récemment, pour rendre hommage aux « notes de Thurston » qui les ont tant inspirés, Jeff Brock et David Dumas, ont élaboré une affiche de colloque qui superpose une copie d’une page originale et une image d’un objet mathématique sophistiqué (qu’on appelle un groupe kleinien) fabriquée avec une technique moderne.

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En 1994, William Thurston propose une réflexion sur le progrès des mathématiques dans un article remarquable « On proofs and progress in mathematics » [1].
Malheureusement, ce texte est destiné à des mathématiciens professionnels et il est donc probablement difficile d’accès aux lecteurs de Images des Mathématiques. Cependant, dans un blog bien plus récent, Thurston a eu l’occasion de s’exprimer en termes simples sur sa conception des mathématiques.

Un jeune mathématicien se demandait comment il pourrait contribuer au développement des mathématiques puisqu’il n’était ni Gauss ni Euler ! Voici ce que lui répondit William Thurston [2] :

Ce n’est pas aux mathématiques que vous devez apporter votre contribution.
La question est plus vaste que cela : comment pouvez-vous contribuer à l’humanité et, plus profondément, au bien-être du monde, en développant les mathématiques ?
On ne peut pas répondre à cette question d’une manière purement intellectuelle parce que les conséquences de nos actions dépassent largement notre compréhension.
Nous sommes des animaux si profondément sociaux que notre bien-être dépend de beaucoup de choses qui sont difficiles à expliquer d’une manière intellectuelle.
C’est pour cette raison que vous faites bien de suivre votre cœur et votre passion.
La raison seule risque bien de vous égarer.
Aucun d’entre nous n’est suffisamment intelligent pour trouver son chemin de manière purement intellectuelle.

Les mathématiques apportent de la clarté et de la compréhension.

Pas des théorèmes pour eux mêmes.
Y a-t-il par exemple une seule vraie raison qui fait que des résultats comme le dernier théorème de Fermat ou la conjecture de Poincaré sont réellement intéressants ?
Leur vraie importance n’est pas dans leurs énoncés techniques mais dans les défis qu’ils représentent, et dans les développements mathématiques qu’ils suggèrent et qui accroissent notre compréhension.

Le monde ne soufre pas d’une trop grande clarté (c’est le moins qu’on puisse dire).
La question de savoir si, et comment, des mathématiques spécifiques pourraient améliorer le monde n’a en général pas de réponse.
Mais collectivement les mathématiques sont extrêmement importantes.

Je pense aux mathématiques comme ayant une grande composante psychologique, à cause de leur forte dépendance à l’esprit humain.
Déshumanisées, les mathématiques seraient plus proches d’un programme d’ordinateur ; ce serait bien différent.
Les idées mathématiques, même les plus simples, sont souvent difficiles à communiquer d’un esprit à l’autre.
Il y a beaucoup d’idées en mathématiques qui sont difficilement assimilables mais qui sont très limpides une fois acquises.
Pour cette raison, la compréhension mathématique ne progresse pas toujours dans la même direction.

[…]

Les mathématiques n’existent que dans une communauté vivante de mathématiciens qui diffuse la compréhension et insuffle une vie à des idées, qu’elles soient récentes ou anciennes.
La vraie satisfaction mathématique est d’apprendre des autres et de partager.
Chacun de nous a une compréhension claire d’un petit nombre de choses et une vision confuse de beaucoup d’autres.
Nous aurons toujours besoin d’idées pour y voir plus clair.
La question de savoir qui est le premier qui a mis le pied sur un mètre carré de terrain est vraiment secondaire.
Les révolutions sont importantes mais elles sont rares, et elles ne se produisent pas seules — elles dépendent largement de la communauté des mathématiciens.

Merci à Bill pour cette belle description de son point de vue sur l’activité mathématique ! D’autres mathématiciens ont bien sûr d’autres points de vue. J’espère que des commentaires viendront enrichir la discussion.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Christian Mercat, Jérôme Poineau, Claude Animo, Gérard Besson et Nicolas Schabanel.

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Voir à ce sujet ce billet de Patrick Popescu Pampu.

[2Traduit de l’anglais, en provenance de cette page dont une copie est ici.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Clarté et compréhension» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • Clarté et compréhension

    le 15 janvier 2018 à 02:31, par Cornéliu Tocan jr

    Bonjour,

    Je ne sais pas si vous êtes encore à la recherche d’une référence précise pour la citation de Gauss, mais un article de la publication québécoise « Accromath » pourrait vous offrir une première réponse.

    http://accromath.uqam.ca/2015/03/confidences-darchimede-ou-le-maitre-geometre-divulgue-un-joli-truc-du-metier-de-son-cru/

    (v. médaillon bleu : À propos de l’aphorisme de Gauss)

    Bonne lecture !

    Cornéliu

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