Depuis une décennie Google domine le marché des moteurs de recherche sur internet. Son point fort est qu’il trie intelligemment ses résultats par ordre de pertinence. Comment est-ce possible ?
Depuis sa conception en 1998, Google continue à évoluer
et la plupart des améliorations demeurent des secrets bien gardés.
L’idée principale, par contre, a été publiée
 [1] : le pilier de son succès est une judicieuse modélisation mathématique que nous retraçons ici.

Que fait un moteur de recherche ?

Une base de données a une structure prédéfinie
qui permet d’en extraire des informations, par exemple
« nom, rue, code postal, téléphone, ... ».
L’internet, par contre, est peu structuré :
c’est une immense collection de textes de nature variée.
(Je fais abstraction ici de différents formats et médias,
car pour la recherche on revient bien aux mots-clés.)
Toute tentative de classification semble vouée à l’échec,
d’autant plus que le web évolue rapidement :
une multitude d’auteurs indépendants ajoute constamment
de nouvelles pages et modifie les pages existantes.

Pour trouver une information dans ce tas amorphe,
l’utilisateur pourra lancer une recherche de mots-clés.
Ceci nécessite une certaine préparation pour être efficace :
le moteur de recherche copie préalablement les pages web une par une
en mémoire locale et trie les mots par ordre alphabétique.
Le résultat est un annuaire de mots-clés avec leurs pages web associées.

Pour un mot-clé donné il y a typiquement des milliers de pages correspondantes (plus d’un million pour « tangente », par exemple).
Certaines pages sont pourtant plus pertinentes que d’autres.
Comment aider l’utilisateur à repérer les résultats potentiellement intéressants ?
C’est ici que Google a apporté sa grande innovation.

Le web est un graphe !

Profitons du peu de structure qui soit disponible.
L’internet n’est pas une collection de textes indépendants mais
un immense hypertexte : les pages se citent mutuellement.
Afin d’analyser cette structure nous allons négliger
le contenu des pages et ne tenir compte que des liens entre elles.
Ce que nous obtenons est la structure d’un graphe.
La figure suivante montre un exemple en miniature.

Ici les sommets du graphe représentent les pages web et les flèches
représentent les liens, c’est-à-dire les citations entre pages web.
Chaque flèche est orientée de la page émettrice vers la page citée.
 [2]

Dans la suite je note les pages web par $P_1,P_2,P_3,\dots,P_n$
et j’écris $j \to i$ si la page $P_j$ cite la page $P_i$.
Dans notre graphe nous avons un lien $1 \to 5$,
par exemple, mais pas de lien $5 \to 1$.
Néanmoins, dans ce premier exemple, toutes les pages
communiquent via des chemins à un ou plusieurs pas.

Comment exploiter ce graphe ?

Les liens sur internet ne sont pas
aléatoires mais ont été édités avec soin.
Quels renseignements pourrait nous donner ce graphe ?
L’idée de base, encore à formaliser, est qu’un lien $j \to i$
est une recommandation de la page $P_j$ d’aller lire la page $P_i$.
C’est ainsi un vote de $P_j$ en faveur de l’autorité de la page $P_i$.

Analysons notre exemple sous cet aspect. La présentation
suivante de notre graphe suggère une hiérarchie possible — encore à justifier.

Parmi les pages $P_1,P_2,P_3,P_4$ la page $P_1$ sert de référence commune
et semble un bon point de départ pour chercher des informations.
Il en est de même dans le groupe $P_9,P_{10},P_{11},P_{12}$
où la page $P_9$ sert de référence commune.
La structure du groupe $P_5,P_6,P_7,P_8$ est similaire,
où $P_7$ est la plus citée.
À noter toutefois que les pages $P_1$ et $P_9$, déjà reconnues
comme importantes, font référence à la page $P_5$.
On pourrait ainsi soupçonner que la page $P_5$ contient
de l’information essentielle pour l’ensemble, qu’elle est la plus pertinente.
Dans la suite nous allons essayer de formaliser ce classement.

Premier modèle : comptage naïf

Il est plausible qu’une page importante reçoit beaucoup de liens.
Avec un peu de naïveté, on croira aussi l’affirmation réciproque :
si une page reçoit beaucoup de liens, alors elle est importante.
Ainsi on pourrait définir la mesure d’importance $m_i$ de la page $P_i$
comme le nombre des liens $j \to i$ reçus par $P_i$.
En formule ceci s’écrit comme suit :
\[\begin{equation}\label{eq:SommeNaive} m_i := \sum_{j \to i} 1 . \end{equation}\]

Ici le signe « $\displaystyle\sum_{j \to i}$ » dénote la somme sur tous les liens pointant vers la page $P_i$, et les termes à sommer valent tous $1$.
Autrement dit, $m_i$ est égal au nombre de « votes »
pour la page $P_i$, où chaque vote contribue par la même valeur $1$.
C’est facile à définir et à calculer, mais ne correspond souvent pas
à l’importance ressentie par l’utilisateur : dans notre exemple
on trouve $m_1 = m_9 = 4$ devant $m_5 = m_7 = 3$.
Ce qui est pire, ce comptage naïf est trop facile à manipuler
en ajoutant des pages sans intérêt recommandant une page quelconque.

Second modèle : comptage pondéré

Certaines pages émettent beaucoup de liens : ceux-ci
semblent moins spécifiques et leur poids sera plus faible.
Nous partageons donc le vote de la page $P_j$ en $\ell_j$
parts égales, où $\ell_j$ dénote le nombre de liens émis.
Ainsi on pourrait définir une mesure plus fine :
\[\begin{equation}\label{eq:SommePonderee} m_i := \sum_{j \to i} \frac{1}{\ell_j} . \end{equation}\]

Autrement dit, $m_i$ compte le nombre de
« votes pondérés » pour la page $P_i$.
C’est facile à définir et à calculer, mais ne correspond toujours
pas bien à l’importance ressentie : dans notre exemple on trouve
$m_1 = m_9 = 2$ devant $m_5 = \frac{3}{2}$
et $m_7 = \frac{4}{3}$.
Et comme avant ce comptage est trop facile à truquer.

Troisième modèle : comptage récursif

Heuristiquement, une page $P_i$ paraît importante
si beaucoup de pages importantes la citent.
Ceci nous mène à définir l’importance $m_i$
de manière récursive comme suit :
\[\begin{equation}\label{eq:EquilibreLineaire} m_i = \sum_{j \to i} \frac{1}{\ell_j} m_j . \end{equation}\]

Ici le poids du vote $j \to i$ est proportionnel
au poids $m_j$ de la page émettrice.
C’est facile à formuler mais moins évident à calculer...
Une méthode efficace sera expliquée dans la suite [3].
Pour vous rassurer vous pouvez déjà vérifier
que notre exemple admet bien la solution
\[ \begin{matrix} & & & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & P_6 & P_7 & P_8 & P_9 & P_{10} & P_{11} & P_{12} & \\ m & = & ( & 2, & 1, & 1, & 1, & 3, & 1, & 2, & 1, & 2, & 1, & 1, & 1 & ). \end{matrix} \]
Contrairement aux modèles précédents, la page $P_5$
est repérée comme la plus importante.
C’est bon signe, nous sommes sur la bonne piste...

Remarquons que $\ref{eq:EquilibreLineaire}$
est un système de $n$ équations linéaires à $n$ inconnues.
Dans notre exemple, où $n=12$, il est déjà pénible
à résoudre à la main, mais encore facile sur ordinateur.
Pour les graphes beaucoup plus grands nous aurons besoin
de méthodes spécialisées.

Promenade aléatoire sur la toile

Avant de tenter de résoudre l’équation $\ref{eq:EquilibreLineaire}$,
essayons d’en développer une intuition.
Pour ceci imaginons un surfeur aléatoire qui se balade
sur internet en cliquant sur les liens au hasard.
Comment évolue sa position ?

À titre d’exemple, supposons que notre surfeur démarre au temps $t=0$
sur la page $P_7$. Le seul lien pointe vers $P_5$,
donc au temps $t=1$ le surfeur s’y retrouve avec probabilité $1$.
D’ici partent trois liens, donc au temps $t=2$ il se trouve
sur une des pages $P_6$, $P_7$, $P_8$ avec probabilité $\frac{1}{3}$.
Voici les probabilités suivantes (arrondies à $10^{-3}$ près) :
\[ \begin{matrix} & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & P_6 & P_7 & P_8 & P_9 & P_{10} & P_{11} & P_{12} \\ t=0 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & 1.00 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 \\ t=1 & .000 & .000 & .000 & .000 & 1.00 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 \\ t=2 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .333 & .333 & .333 & .000 & .000 & .000 & .000 \\ t=3 & .167 & .000 & .000 & .000 & .333 & .000 & .333 & .000 & .167 & .000 & .000 & .000 \\ t=4 & .000 & .042 & .042 & .042 & .417 & .111 & .111 & .111 & .000 & .042 & .042 & .042 \\ t=5 & .118 & .021 & .021 & .021 & .111 & .139 & .250 & .139 & .118 & .021 & .021 & .021 \\ \dots \\ t=29 & .117 & .059 & .059 & .059 & .177 & .059 & .117 & .059 & .117 & .059 & .059 & .059 \\ t=30 & .117 & .059 & .059 & .059 & .177 & .059 & .117 & .059 & .117 & .059 & .059 & .059 \end{matrix} \]

On observe une diffusion qui converge
assez rapidement vers une distribution stationnaire
(à $10^{-3}$ près au bout d’une trentaine d’itérations).
Vérifions cette observation par un second exemple,
partant cette fois-ci de la page $P_1$ :
\[ \begin{matrix} & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & P_6 & P_7 & P_8 & P_9 & P_{10} & P_{11} & P_{12} \\ t=0 & 1.00 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 \\ t=1 & .000 & .250 & .250 & .250 & .250 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 \\ t=2 & .375 & .125 & .125 & .125 & .000 & .083 & .083 & .083 & .000 & .000 & .000 & .000 \\ t=3 & .229 & .156 & .156 & .156 & .177 & .000 & .083 & .000 & .042 & .000 & .000 & .000 \\ t=4 & .234 & .135 & .135 & .135 & .151 & .059 & .059 & .059 & .000 & .010 & .010 & .010 \\ t=5 & .233 & .126 & .126 & .126 & .118 & .050 & .109 & .050 & .045 & .005 & .005 & .005 \\ \dots \\ t=69 & .117 & .059 & .059 & .059 & .177 & .059 & .117 & .059 & .117 & .059 & .059 & .059 \\ t=70 & .117 & .059 & .059 & .059 & .177 & .059 & .117 & .059 & .117 & .059 & .059 & .059 \end{matrix} \]

Bien que la diffusion mette plus de temps à se stabiliser,
la mesure stationnaire est la même !
Elle coïncide d’ailleurs avec notre solution $m = (2,1,1,1,3,1,2,1,2,1,1,1)$,
ici divisée par $17$ pour normaliser la somme à $1$.
Les pages où $m_i$ est grand sont les plus
« fréquentées » ou les plus « populaires ».
Dans la quête de classer les pages web par ordre d’importance
c’est encore un argument pour utiliser la mesure $m$ comme indicateur.

Le modèle du surfeur aléatoire peut sembler étonnant, mais
en absence d’information plus précise, le recours
aux considérations probabilistes se révèle souvent très utile !

La loi de transition

Comment formaliser la diffusion illustrée ci-dessus ?
Supposons qu’au temps $t$ notre surfeur aléatoire
se trouve sur la page $P_j$ avec une probabilité $p_j$.
La probabilité de partir de $P_j$ et de suivre
le lien $j \to i$ est alors $\frac{1}{\ell_j} p_j$.
La probabilité d’arriver au temps $t+1$
sur la page $P_i$ est donc
\[\begin{equation}\label{eq:TransitionLineaire} p'_i := \sum_{j \to i} \frac{1}{\ell_j} p_j . \end{equation}\]

Étant donnée la distribution initiale $p$, la loi de transition
$\ref{eq:TransitionLineaire}$ définit la distribution suivante $p' = T(p)$.
C’est ainsi que l’on obtient la ligne $t+1$ à partir de la ligne $t$ dans nos exemples.
(En théorie des probabilités ceci s’appelle une chaîne de Markov.)
La mesure stationnaire est caractérisée par l’équation d’équilibre $m = T(m)$,
qui est justement notre équation $\ref{eq:EquilibreLineaire}$ de départ.

Attention aux trous noirs

Que se passe-t-il quand notre graphe contient
une page (ou un groupe de pages) sans issue ?
Pour illustration, voici notre graphe augmenté
d’une nouvelle page $P_{13}$ sans issue :

L’interprétation comme marche aléatoire permet de résoudre
l’équation $\ref{eq:EquilibreLineaire}$ sans aucun calcul :
la page $P_{13}$ absorbe toute la probabilité
car notre surfeur aléatoire tombera tôt ou tard sur
cette page, où il demeure pour le reste de sa vie.
Ainsi la solution est
\[ \begin{matrix} & & & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & P_6 & P_7 & P_8 & P_9 & P_{10} & P_{11} & P_{12} & P_{13} & \\ m & = & ( & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 1 &). \end{matrix} \]
Notre modèle n’est donc pas encore satisfaisant.

Le modèle PageRank utilisé par Google

Pour échapper aux trous noirs, Google utilise un modèle plus raffiné :

• avec une probabilité fixée $c$ le surfeur abandonne sa page actuelle $P_j$
  et recommence sur une des $n$ pages du web, choisie de manière équiprobable ;
• sinon, avec probabilité $1-c$, le surfeur suit un des liens de la page $P_j$,
  choisi de manière équiprobable. (C’est la marche aléatoire usuelle).

Cette astuce de « téléportation »
évite de se faire piéger par une page sans issue,
et garantit d’arriver n’importe où dans le graphe,
indépendamment des questions de connexité.

Dans ce modèle la transition est donnée par
\[\begin{equation}\label{eq:TransitionAffine} p'_i := \frac{c}{n} + \sum_{j \to i} \frac{1-c}{\ell_j} p_j . \end{equation}\]
Le premier terme $\frac{c}{n}$ provient de la téléportation,
le second terme est la marche aléatoire précédente.
La mesure d’équilibre satisfait donc à l’équation
\[\begin{equation}\label{eq:EquilibreAffine} m_i = \frac{c}{n} + \sum_{j \to i} \frac{1-c}{\ell_j} m_j . \end{equation}\]

Le paramètre $c$ est encore à calibrer.
Pour $c=0$ nous obtenons le modèle précédent
(voir $\ref{eq:EquilibreLineaire}$ et $\ref{eq:TransitionLineaire}$ ci-dessus).
Pour $0 < c \le 1$ la valeur $\frac{1}{c}$ est le nombre moyen
de pages visitées, c’est-à-dire le nombre de liens suivis plus un,
avant de recommencer sur une page aléatoire (processus de Bernoulli).

En général, on choisira la constante $c$ non nulle mais proche de zéro.
Par exemple, le choix $c = 0.15$ correspond à suivre environ $6$ liens
en moyenne, ce qui semble une description réaliste.

Pour conclure l’analyse de notre exemple, voici
la marche aléatoire partant de la page $P_1$ :
\[ \begin{matrix} & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & P_6 & P_7 & P_8 & P_9 & P_{10} & P_{11} & P_{12} \\ t=0 & 1.00 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 & .000 \\ t=1 & .013 & .225 & .225 & .225 & .225 & .013 & .013 & .013 & .013 & .013 & .013 & .013 \\ t=2 & .305 & .111 & .111 & .111 & .028 & .076 & .087 & .076 & .034 & .020 & .020 & .020 \\ t=3 & .186 & .124 & .124 & .124 & .158 & .021 & .085 & .021 & .071 & .028 & .028 & .028 \\ t=4 & .180 & .105 & .105 & .105 & .140 & .057 & .075 & .057 & .057 & .040 & .040 & .040 \\ t=5 & .171 & .095 & .095 & .095 & .126 & .052 & .101 & .052 & .087 & .042 & .042 & .042 \\ \dots \\ t=29 & .120 & .066 & .066 & .066 & .150 & .055 & .102 & .055 & .120 & .066 & .066 & .066 \\ t=30 & .120 & .066 & .066 & .066 & .150 & .055 & .102 & .055 & .120 & .066 & .066 & .066 \end{matrix} \]
La mesure stationnaire est vite atteinte,
et la page $P_5$ arrive en tête avec $m_5 = 0.15$
avant les pages $P_1$ et $P_9$ avec $m_1 = m_9 = 0.12$.

Le théorème du point fixe

Afin de développer un modèle prometteur nous avons utilisé
des arguments heuristiques et des illustrations expérimentales.
Fixons maintenant ce modèle et posons-le sur un solide fondement théorique.
Nos calculs aboutissent bel et bien dans notre
exemple miniature, mais est-ce toujours le cas ?
Le beau résultat suivant y répond en toute généralité
 [4] :

Théorème du point fixe. —
Considérons un graphe fini quelconque et fixons
le paramètre $c$ tel que $0 < c \le 1$. Alors :

• L’équation $\ref{eq:EquilibreAffine}$
  admet une unique solution vérifiant $m_1+\dots+m_n = 1$.
  Dans cette solution $m_1,\dots,m_n$ sont tous strictement positifs.
• Pour toute distribution de probabilité initiale sur le graphe,
  le processus de diffusion $\ref{eq:TransitionAffine}$
  converge vers cette unique mesure stationnaire $m$.
• La convergence est au moins aussi rapide
  que celle de la suite géométrique $(1-c)^n$ vers $0$.

Soulignons l’importance de chacun de ces trois points. Le premier assure tout simplement l’existence et l’unicité d’une solution à notre problème. Mieux encore, non seulement une solution existe mais le deuxième point nous dit comment la calculer : par un algorithme itératif. Ici l’indépendance du point de départ garantit une certaine stabilité numérique : lors des calculs avec des nombres à virgule, des erreurs d’arrondi sont souvent inévitables, mais heureusement ici de telles perturbations n’influent pas le résultat final. Enfin, le troisième point garantit que la vitesse de convergence est suffisamment grande, ce qui est cruciale pour toute application de grandeur nature.
Pour son classement Google traite plusieurs milliards de pages web [5]. Cette tâche herculéene n’est réalisable qu’avec l’algorithme itératif, et le théorème garantit son efficacité quelque soit le graphe [6].

Ce théorème est donc aussi élégant qu’utile. L’idée de la preuve est étonnamment simple : on montre que la loi de transition $\ref{eq:TransitionAffine}$ définit une application $T \colon p \mapsto p'$
qui est contractante de rapport $1-c$.
Le résultat découle ainsi du théorème du point fixe de Banach [7].

Conclusion

Pour être utile, un moteur de recherche doit non seulement énumérer
les résultats d’une requête mais les classer par ordre d’importance.
Or, estimer la pertinence des pages web est un profond défi de modélisation.

En première approximation Google analyse le graphe formé par
les liens entre pages web. Interprétant un lien $j \to i$ comme « vote »
de la page $P_j$ en faveur de la page $P_i$, le modèle PageRank
$\ref{eq:EquilibreAffine}$ définit une mesure de « popularité ».

Le théorème du point fixe assure que cette équation admet une unique solution,
et justifie l’algorithme itératif $\ref{eq:TransitionAffine}$ pour l’approcher.
Celui-ci est facile à implémenter sur ordinateur
et assez efficace pour les graphes de grandeur nature.

Muni de ces outils mathématiques et d’une habile stratégie d’entreprise,
Google gagne des milliards de dollars. Il fallait y penser !

Annexe — quelques pistes d’approfondissement