[Rediffusion d’un article publié en mars 2020]
Comment multiplier sans connaître les tables de multiplication ?
Piste verte Le 15 septembre 2021 Voir les commentaires (5)Lire l'article en


Une méthode ludique pour apprendre aux enfants à multiplier en dessinant.
Dans la majorité des écoles d’Europe ou d’Amérique, par exemple, on apprend aux enfants à multiplier en apprenant par cœur les fameuses (et terribles...) « tables de multiplication » (pour en savoir plus sur ce sujet, nous renvoyons à cet excellent article d’Étienne Ghys).
Combien de fois les a-t-on récitées à nos parents, nos professeurs ?
Combien d’enfants ont commencé à penser dès cet instant que pour « faire des maths », il fallait indéniablement apprendre plein de choses par cœur ?
« Faire des maths » ce n’est pas apprendre plein de formules ou symboles étranges : c’est plutôt essayer de comprendre comment résoudre des problèmes le plus simplement possible. Néanmoins, nos méthodes éducatives ne permettent pas vraiment à nos enfants (ni à ceux des autres) de saisir cette beauté et cette subtilité qu’ont les mathématiques, et cela commence dès l’apprentissage de ces « terrifiantes » tables de multiplication [1]..
Heureusement, ce n’est pas la seule manière d’apprendre aux enfants à multiplier. Certaines écoles, par exemple au Japon, utilisent une ancienne méthode bien plus géométrique et ludique dont l’origine reste difficile à déterminer (la méthode était déjà connue au Moyen Âge par plusieurs cultures du monde).
Commençons simplement : $2 \times 3$. On nous a appris que c’est « 2 paquets de 3 objets ». Par exemple, « 2 paquets de 3 aliens » (ou extraterrestres, pour ceux qui n’aiment pas les anglicismes).
Si l’on trace deux droites horizontales et trois droites verticales, comme ceci
le nombre de points d’intersection c’est bien « 2 paquets (horizontaux) de 3 points » (dans notre cas, 2 paquets de 3 aliens).
Passons à des nombres plus grands, $12 \times 32$, par exemple. Nous pourrions compter les aliens un à un, et voir qu’il y en a exactement $384$.
Mais quelle horreur de compter comme ça !
Dans la pratique, avec des nombres un peu grands, on a juste bien trop la flemme de faire comme ça... On va donc être un peu plus astucieux : on va séparer les chiffres des dizaines de ceux des unités. Ainsi, pour représenter $12$, au lieu de dessiner $12$ droites, on dessine.
De fait, $32$ devient donc...
Et donc $12 \times 32$ :
« Zoomons » sur les différentes parties de notre dessin :
- Bleu avec bleu, c’est unité fois unité ; on a donc $4$ petits aliens.
- Rouge avec bleu c’est dizaine fois unité ; chaque point compte donc pour $10$. On a ici $8$ aliens moyens $(6+2)$, qui comptent chacun pour $10$ petits aliens !
- Rouge avec rouge c’est dizaine fois dizaine, i.e. centaine ; chaque point ici compte pour $100$. On a $3$ super aliens, qui comptent chacun pour $100$ petits aliens !
Donc : $12 \times 32 = 384$.
Bien sûr, tout ceci découle simplement de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (utilisée à plusieurs reprises).
Pour que ce soit à la fois plus visuel et plus pratique on va tourner notre dessin de $45º$ :
Mais cet exemple était très (trop ?) facile, compliquons un peu !
$41 \times 23$ :
Ici on a $3$ unités, $14$ dizaines et $8$ centaines. Mais $14$ dizaines c’est en fait $1$ centaine et $4$ dizaines $(14 \times 10 = 100 + 40)$. On a donc finalement $4$ dizaines et $9$ centaines : $41 \times 23 = 943$.
Si on oublie les aliens, on ne retient que le dessin suivant :
Il se peut également qu’il y ait plus d’une retenue ! Par exemple, calculons $18 \times 37$ :
Donc $18 \times 37 = 666$.
Bien sûr, cette méthode fonctionne avec n’importe quels nombres entiers. Par exemple, calculons $233 \times 121$ :
Donc $233 \times 121 = 28193$.
Évidemment, on peut aussi multiplier un nombre de 5 chiffres avec un de 3 chiffres, un nombre de 3 chiffres avec un de 2 chiffres, etc.
$121 \times 22$ : En fait, on va considérer ici que $22 = 022 = 0 \times 100 + 2 \times 10 + 2$.
On peut remarquer que l’on a représenté le 0 du 022 par une droite en pointillés. Les points d’intersection de cette droite avec n’importe quelle autre ne comptent pas. C’est ainsi que l’on procède à chaque fois qu’apparaît un 0 dans un des facteurs.
Donc $121 \times 22 = 2662$.
Et pour finir en beauté, ce dernier exemple... plutôt remarquable ! On vous laisse l’essayer tout seul mais on vous met la réponse en fenêtre cachée :
Nous remercions Beatriz Vargas pour les dessins des aliens de cet article. Merci également à Peggy Laurent, Véronique Venackère, Marcus Mildner et richecoeur pour leur relecture, ainsi qu’à Carole Gaboriau et Mai Huong Pham-Sauvageot pour leur travail d’édition.
Notes
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Pour citer cet article :
Andrés Navas, Julie Levrault — «Comment multiplier sans connaître les tables de multiplication ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021
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