¿ Cómo multiplicar conociendo apenas la tabla del 2 ?

Le 23 janvier 2021  - Ecrit par  Andrés Navas, Julie Levrault
Le 23 février 2021
Article original : Comment multiplier en ne connaissant que la table de 2 ? Voir les commentaires
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En un artículo anterior explicamos que, contrariamente a lo que se aprende generalmente en la escuela, es posible multiplicar sin aprenderse de memoria las tablas de multiplicar (y sin calculadora...) Para esto evocamos un método lúdico y geométrico para el cual basta con saber sumar para poder multiplicar. En este artículo describiremos otro método, el cual aún es enseñado en las escuelas de Etiopía [1] y era enseñado hasta hace algunos años en ciertas escuelas rusas [2].

¡ Solo se necesitas saber cómo sumar, multiplicar por $2$ y dividir por $2$, para poder multiplicar cualquier par de números !

Este método, que heredamos desde Etiopía y Egipto, está descrito en el papiro Rhind (escrito por el escriba Ahmes y conservado desde el siglo XIX en el Museo Británico de Londres). Este papiro, reproducido parcialmente en la imagen de arriba, data de unos pocos siglos antes de Cristo, y es considerado el documento matemático más antiguo de la historia aún conservado.

Comencemos de manera simple : $ 6 \times 5 $. Hacemos dos columnas : ponemos el primer número en la columna de la izquierda y el segundo en la de la derecha.

En la columna de izquierda se divide por $2$, y en la columna de derecha se multiplica por $2$. Esto da :

El número $3$ es impar, es decir, no es divisible por $2$. Lo que se hace en un caso así es sustraerle $1$ y luego se dividirlo por $2$ :
\[\frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
En la columna de derecha, continuamos multiplicando por $2$ :

¿ Y ahora qué pasa ?

Como llegamos a $1$, miramos toda la columna de la izquierda. Allí hay números pares ($6$) e impares ($3$ y $1$). Retiramos entonces todas las líneas que corresponden a números pares :

Finalmente, sumamos todos los números restantes en la columna de derecha :
\[\LARGE{10 + 20 = 30.}\]

Finalmente :

\[\LARGE{6 \times 5 = 30.}\]

Este método funciona en general.

Por ejemplo, si queremos calcular $12 \times 32$ :

Dividimos $6$ por dos y multiplicamos $64$ por dos :

Dividimos $3-1$ por dos y multiplicamos $128$ por dos :

Finalmente, suprimimos las líneas en las cuales el número de izquierda es par :

Nos queda sumar los números que quedan en la columna de derecha :
$128+256=384$. Por lo tanto, $12 \times 32=384$.

A continuación otro ejemplo : $18 \times 37$.

Como $9$ no es divisible por dos, le restamos uno y luego dividimos por dos :

Obtenemos $4$, que es una potencia de dos. Queda entonces dividirlo sistemáticamente por dos hasta obtener uno :

Borramos las líneas cuyo número a izquierda es par :

Finalizamos sumando los números $74$ y $592$, obteniendo así
$18 \times 37=74+592=666$... ¡ La multiplicación del diablo !

Abajo hay otro ejemplo : intente calcular antes de desplegar el enlace.

$233 \times 121$

Como tenemos que dividir por dos en la columna de izquierda, es mejor calcular $121 \times 233$ en lugar de $233 \times 121$.

Así, $233 \times 121=233+1864+3728+7456+14912=28193$.

En fin, en este sitio (en francés) se puede hallar un simulador automático para testear sus multiplicaciones y hacer otras.

¿ Pero por qué funciona esto ?

Lo explicaremos con un ejemplo, pues el mismo razonamiento funciona de manera general. Consideremos nuevamente $12 \times 32$. Si descomponemos $12$ como suma de potencias de dos, obtenemos $12=2^2+2^3$. ¿ Cómo se puede obtener esta descomposición ? Se trata de una descomposición binaria de un número, y explicaremos cómo obtenerla aquí.

Sabemos que $2^3=8<12<2^4=16$, y por tanto la descomposición de $12$ como suma de potencias de dos es
\[a2^0+b2^1+c2^2+d2^3,\]
con $a,b,c,d$ iguales a $0$ o $1$. El número $12$ es par, por lo que $2^0$ no aparece en su descomposición, y por tanto $a=0$ y \[12=b2^1+c2^2+d2^3.\].

Dividamos $12$ por dos, lo cual nos da
\[6=\frac{12}{2}=b2^0+c2^1+d2^2.\]
Como $6$ es par, $b=0$ y $12=c2^2+d2^3$, es decir, $6=c2^1+d2^2$.

Dividamos $6$ por dos. Esto nos da $3=\frac{6}{2}=c2^0+d2^1$, y como $3$ es impar tenemos $c=1$. Obtenemos entonces $12=2^2+d2^3$ y $3=2^0+d2^1=1+d2^1$.

Ahora, como $3$ es impar, dividamos $3-1$ por dos, lo que nos da
\[\frac{3-1}{2}=\frac{d2^1}{2}=d.\]
Por lo tanto, $d=1$ y $12=2^2+2^3$.

Anteriormente, cuando dividimos por dos a un lado y multiplicamos por dos al otro, terminamos « tachando » las filas cuyos números en la columna de la izquierda eran pares. Como se puede ver, cuando hacemos esto, « tachamos » las potencias de dos que no aparecen en la descomposición de $ 12 $ como suma de potencias de dos.

Así, preservamos las líneas que corresponden a $2^2$ et $2^3$, que son las únicas potencias de dos que aparecen en la descomposición de $12$.

Por lo tanto, cuando sumamos $128$ y $256$ de acuerdo al procedimiento, realmente estamos sumando $32 \times 2^2$ y $32 \times 2^3$. De esta forma, la operación que efectuamos es $32 \times 2^2 + 32 \times 2^3= 32 \times (2^2+2^3)= 32 \times 12$. ¡ Es por esto que funciona !

Terminamos con un último ejemplo a desplegar abajo : ¡ a calcular !

$8263 \times 3802$


Sumamos todo lo que se debe sumar y obtenemos $8263 \times 3802=31415926$.
¡ Oh ! Pero $\pi=3,1415926...$

Article original édité par Philippe Colliard

Notes

[1Vea por ejemplo este video (en inglés).

[2Vea este video (también en inglés).

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Pour citer cet article :

— «¿ Cómo multiplicar conociendo apenas la tabla del 2 ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

Image à la une - Una página del papiro de Rhind tomada desde Wikipedia : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Problème-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg#filehistory

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