¿Cómo multiplicar sin saber las tablas de multiplicación ?

Le 19 mars 2020  - Ecrit par  Andrés Navas, Julie Levrault
Le 19 mars 2020
Article original : Comment multiplier sans connaître les tables de multiplication ? Voir les commentaires
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Un método lúdico para enseñar a los niños a multiplicar dibujando.

En la mayoría de las escuelas de América y Europa se enseña a los niños a multiplicar memorizando las famosas (y temibles...) ’’tablas de multiplicación’’ (para saber más sobre este tema puedes consultar este excelente artículo de Étienne Ghys).

¿ Cuántas veces tuvimos que recitarlas ante nuestros padres o profesores ?

¿ Cuántos niños pensaron desde ese momento que para ’’hacer matemáticas’’ había que aprenderse necesariamente montones de cosas de memoria ?

Pero ’’hacer matemáticas’’ no es en absoluto aprenderse fórmulas o símbolos extraños ; más bien, se trata de entender cómo resolver problemas de la manera más sencilla posible. Lamentablemente, nuestros métodos educativos no siempre permiten a los niños apreciar esta belleza y sutileza de las matemáticas, y esto empieza con el aprendizaje de las ’’terroríficas’’ tablas de multiplicación [1].

Afortunadamente, esta no es la única manera de enseñar a los niños a multiplicar. En algunas escuelas (por ejemplo, de Japón) se usa un antiguo método bastante más geométrico y lúdico cuyo origen resulta difícil de determinar (en la Edad Media ya era conocido en varias culturas alrededor del mundo).

Comencemos con un ejemplo sencillo : $2 \times 3$. Tal como se nos enseñó, esto corresponde a ’’2 paquetes de 3 objetos’’. Por ejemplo, ’’2 paquetes de 3 aliens’’ (o extraterrestres, para quienes no gustan de anglicismos).

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Si trazamos dos rectas horizontales y tres verticales como a continuación

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entonces el número de puntos de intersección corresponde a ’’2 paquetes (horizontales) de 3 puntos’’ (en nuestro caso, 2 paquetes de 3 aliens).

¿ Por qué 2 x 3 = 3 x 2 ?

Es fácil ver así que $2 \times 3$ es igual a $3 \times 2$ : basta con girar el dibujo en $90º$.

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Queda claro entonces que ’’2 paquetes de 3 objetos’’ es igual a ’’3 paquetes de 2 objetos’’.

Pasemos a números más grandes, $12 \times 32$, por ejemplo. Podríamos contar los aliens uno por uno, y constatar que hay exactamente $384$.

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¡ Pero qué horror es contar así !

En la práctica, con números más grandes, esto se vuelve impracticable... Se debe entonces ser más astuto. Para esto, vamos a separar la cifra de las decenas de la de las unidades. Así, para representar $12$, en lugar de dibujar $12$ rectas, dibujamos :

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Del mismo modo, $32$ se transforma en :

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Así, $12 \times 32$ se representa por :

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Miremos en proximidad las diferentes partes del dibujo :

  • Azul contra azul corresponde a unidad contra unidad : tenemos en nuestro caso $4$ aliens pequeños.
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  • Rojo contra azul corresponde a decena contra unidad : ¡ cada punto cuenta entonces por 10 ! Tenemos aquí $8$ aliens medianos (6+2), cada uno de los cuales cuenta por 10 aliens pequeños.
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  • Rojo contra rojo corresponde a decena contra decena, es decir, centena : aquí, cada punto cuenta por 100. Tenemos $3$ súper aliens, cada uno de los cuales cuenta por 100 aliens pequeños.
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En conclusión : $12 \times 32 = 384$.

Claro está, todo esto es consecuencia de la distributividad de la multiplicación respecto a la adición (utilizada varias veces).

Para hacer todo aún más visual (y práctico) giramos el dibujo en 45º :

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Con este método se visualiza la conmutatividad de la multiplicación.

Por ejemplo, consideremos $32 \times 12$ en lugar de $12 \times 32$. Si representamos $32 \times 12$ con rectas de colores, obtenemos :

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Hemos simplemente reflejado la configuración (pero no las caras de los aliens). El grupo de los 6 aliens violetas se intercambia con el de los 2 aliens violetas, y el resto no cambia. Como contamos de acuerdo al color (o por columna, lo cual es exactamente igual), ¡ esto no cambia en absoluto el cálculo ! Obtenemos nuevamente $3 \times 100 + 8 \times 10 + 4 = 384$.

Pero este ejemplo era un poco (¿ demasiado ?) fácil. ¡ Compliquemos un poco las cosas !

$41 \times 23$ :

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Aquí tenemos 3 unidades, 14 decenas y 8 centenas. Pero 14 decenas corresponden a 1 centena y 4 decenas $(14 \times 10 = 100 + 40)$. Tenemos finalmente $4$ decenas y $9$ centenas : $41 \times 23 = 943$.

Si olvidamos ahora los aliens, nos quedamos con la representación siguiente :

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¡ Atención : puede haber más de una reserva ! Por ejemplo, calculemos $18 \times 37$ :

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De acuerdo a esto, $18 \times 37 = 666$.

Claro está, el método funciona para cualquier par de números enteros. Por ejemplo, calculemos $233 \times 121$ :

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Respuesta : $233 \times 121 = 28193$.

Evidentemente, también se puede multiplicar un número de 5 cifras con otro de 3, uno de 3 cifras con otro de 2, etc.

$121 \times 22$ : consideramos que $22 = 022 = 0 \times 100 + 2 \times 10 + 2$.

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Notemos que hemos representado el dígito 0 del 022 de arriba por una línea punteada. Los puntos de intersección de esta con las otras líneas no deben ser considerados. De hecho, esta también es la forma de proceder cada vez que aparece un dígito 0 en algún factor.

En resumen, el dibujo de arriba nos indica que $121 \times 22 = 2662$.

Y para cerrar de manera majestuosa, un último ejemplo... Te dejamos trabajarlo por tu cuenta, pero te ofrecemos la respuesta a tan solo un click :

$8263 \times 3802$

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Así, $\, 8263 \times 3802 = 31415926$.

¡ Oh, pero $\pi = 3,1415926...$ !

Article original édité par Philippe Colliard

Notes

[1Una discusión profunda sobre esto lo constituye este artículo de Patrick Popescu-Pampu.

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Pour citer cet article :

— «¿Cómo multiplicar sin saber las tablas de multiplicación ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - Agradecemos a Beatriz Vargas por los dibujos de los aliens de este artículo. Gracias igualmente a Peggy Laurent, Véronique Venackère, Marcus Mildner y richecoeur por la relectura, así como a Carole Gaboriau y Mai Huong Pham-Sauvageot por su trabajo de edición.

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