Cuadradísimamente circular

Le 3 janvier 2013  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 29 septembre 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Carrément circulaire Voir les commentaires
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¿Sabe usted metamorfosear un círculo en un cuadrado ? Presento aquí dos métodos para hacerlo. El primero pasa por la manipulación de algunas fórmulas importantes en Análisis. El segundo, explicado en una pequeña película de los años 60, examina nuestra percepción visual.

¿Sabe usted transformar de manera continua un círculo en cuadrado ?

Aquellos que han estudiado suficientemente Análisis Matemático podrían responder de la siguiente manera :

  • ¡Pero por supuesto ! Basta con dibujar la esfera unidad para la norma $L^p$, luego hacer variar el parámetro $p$ de $1$ a $2$, o bien ¡de $2$ al infinito !
  • ¿Qué quiere decir esto ?, podrán legítimamente preguntarse quienes no han ido tan lejos en Análisis.

Trataré de explicar brevemente esta respuesta.

Uno trabaja en el plano con un sistema de coordenadas cartesiano $(x,y)$. El círculo (mejor dicho, la circunferencia) de radio $1$ centrado en el origen es el lugar de los puntos que verifican la ecuación [1] :
\[|x|^2 + |y|^2 =1.\]
Consideremos ahora, para cada número real $p \geq 1$, los puntos del plano que verifican la ecuación más general :
\[|x|^p + |y|^p =1.\]
Como el círculo es una curva, será denotado $C_p$. El círculo de radio $1$ se obtiene en el caso particular $p=2$. Para $p=1$ se obtiene un cuadrado [2]. Uno lo obtiene también en el caso límite $p = \infty$. A decir verdad, la curva $C_p$ no ha sido definida para $p = \infty$, pero se puede mostrar que cuando $p$ tiende al infinito, las curvas $C_p$ tienden al cuadrado cuyos vértices tienen como coordenadas $(\pm 1, \pm 1)$.

Por lo tanto, haciendo variar continuamente el exponente $p$ de $1$ a $2$, uno metamorfosea el cuadrado $C_1$ en el círculo $C_2$. Del mismo modo, haciendo variar $p$ de $2$ a $\infty$, uno transforma el círculo $C_2$ en el cuadrado $C_{\infty}$.

¿Y las normas en todo esto ?

Es cierto, la respuesta hacía referencia -de manera un poco pedante- a la norma $L^p$. De esto se trata.

Una norma es una manera -eventualmente diferente del estándar euclidiano- de medir las longitudes de los vectores en un plano o, más generalmente, en cualquier espacio vectorial. Más precisamente, como pasó a ser la convención universal, para la norma $|| v ||$ de un vector, es decir, su longitud según la nueva ’’norma’’, se exige que ciertas propiedades verdaderas para la longitud euclidiana sean aún verificadas :
— que los vectores no nulos tengan una norma $> 0$ y que $|| 0 || =0$ ;
— que $|| a v || = |a| \cdot || v ||$ para todo número real $a$ y para todo vector $v$ ;
— que la desigualdad triangular sea verificada : $|| u || + || v || \geq || u - v ||$ para todos los pares de vectores $u, v$.

Si nuestro espacio vectorial es el plano cartesiano de pares $(x,y)$ de números reales, entonces se tiene una familia $|| . ||_p$ de normas, llamadas $L^p$, muy importantes en Análisis (principalmente en una versión de dimensión infinita), y definidas de la siguiente manera. El parámetro $p$ varía de $1$ al infinito. Si uno toma el vector $v =(x,y)$, entonces :
\[ || v ||_p = ( |x|^p + |y|^p)^{1/p}.\]
Probar que esto define una norma es un ejercicio que necesita cierto conocimiento. La curva $C_p$ es entonces definida por la ecuación
$|| v ||_p =1$, y por convención se la llama esfera unidad para la norma $L^p$ (en general, la esfera unidad en un espacio vectorial provisto de una norma es el lugar de los puntos de norma $1$).

En el siguiente dibujo yo representé varias curvas $C_p$, las cuales permiten experimentar -eso espero- cómo se pasa del círculo al cuadrado con este primer método.

El lector apasionado por la programación podrá fácilmente elaborar una corta animación mediante las ecuaciones anteriores, mostrando la metamorfosis del círculo en cuadrado.

De hecho, recién ahora llego al tema principal de mi nota. Se trata de una pequeña película (en francés) que encontré del todo asombrosa, realizada por Jean Beuchet. Su título completo es 00El círculo cuadrado, estudio de la percepción de una forma en movimiento’’ [3]. Bueno, esta película presenta una manera completamente diferente de metamorfosear un círculo en cuadrado... de manera circular. Y, usted verá, no se trata en absoluto de Análisis, sino solamente de Geometría, y de percepción. ¿Podrá usted descubrir el procedimiento utilizado antes de mirar la película completa ?

Esta película acaba de cumplir ¡50 años ! Si a usted le gustó, podría apreciar también esta segunda película de Jean Beuchet, que analiza otros aspectos de nuestra percepción visual. Tal vez usted quiera entonces repasar las bases de la perspectiva geométrica en este artículo escrito por Denis Favennec, redescubrir en este artículo de Etienne Ghys cómo múltiples perspectivas permiten construir un reloj de sol, y en este artículo de Pierre Gallais cómo puntos de vista diferentes desconciertan completamente el sentido lógico que nos empuja a querer responder que sí o que no ...

Post-scriptum :

¡Muchas gracias a Arnaud Bodin por haberme hecho descubrir la película ’’Le cercle carré’’, así como a Etienne Ghys por sus sugerencias !

Notes

[1Usted me dirá que no necesito escribir valores absolutos, ya que el cuadrado de un número es igual al de su valor absoluto. De hecho, esta escritura prepara la ecuación más general que sigue en el artículo. En cuanto a esta, le recuerdo que se deriva del teorema de Pitágoras. En efecto, si $P$ designa un punto cualquiera del círculo, $A$ es su proyección sobre el eje de la coordenada $x$ y $O$ designa el centro, el triángulo $PAO$ es rectángulo en $A$. Por lo tanto, por el teorema de Pitágoras, $OA^2 + AP^2 = OP^2$. Pero esto es exactamente la ecuación mencionada.

[2Sus vértices son los puntos de ejes de coordenadas situados a distancia $1$ del origen.

[3Más informaciones al respecto se encuentran aquí .

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Cuadradísimamente circular» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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