Cuadrados triangulares

El 5 enero 2022  - Escrito por  Patrick Popescu-Pampu
El 9 mayo 2020  - Traducido por  Andrés Navas
Artículo original : Carrés triangulaires Ver los comentarios
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¿Sabías probar que la suma de los $n$ primeros números impares es el cuadrado de $n$ tan solo mirando un triángulo equilátero descompuesto en pequeñas copias de sí mismo?

¿ Conoces este libro de Roger Nelsen ?

Cualquiera sea tu respuesta, te pido concentrarte en la figura de la portada, la cual ilustra la ’’prueba contemplativa’’ estándar de que la suma de los primeros $n$ números impares $1, 3, 5, ... , 2n-1$ es igual a $n^2$. Esta consiste en imaginar que el cuadrado grande se obtiene en la etapa $n$ de un proceso del tipo crecimiento de cristales. Este proceso comienza desde el mosaico ubicado en la esquina inferior izquierda, representado por un pequeño disco rojo en la portada del libro. En cada paso se agrega una nueva capa de mosaicos a lo largo de los lados derecho y superior del cristal obtenido en el paso anterior. Estas capas se representan sucesivamente por discos negros o rojos ubicados dentro de sus mosaicos.

Por una parte, el número total de mosaicos es igual a $n^2$, pues los lados del cuadrado grande son divididos en $n$ partes iguales. Por otra parte, este número es igual también a la suma de la cantidad de mosaicos en cada capa. Estas cantidades corresponden precisamente a los $n$ primeros números impares $1, 3, 5, ..., 2n -1$.


Observa ahora la imagen de portada de este artículo. Esta vez vemos un triángulo equilátero, con cada lado dividido en $n$ partes iguales. Al unir los puntos divididos mediante segmentos paralelos a los lados, el triángulo grande se divide en copias más pequeñas de sí mismo, todas del mismo tamaño. Contemos los mini-triángulos ubicados en las bandas formadas por dos segmentos paralelos sucesivos, comenzando desde uno de los vértices del triángulo grande. ¡Encontramos nuevamente los primeros $n$ números impares!

¿ Es posible obtener de esta manera una segunda prueba ’’contemplativa’’ de la identidad $1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2$ ? Para esto, habría que poder ver sin cálculos que el triángulo grande contiene exactamente $n^2$ mini-triángulos. ¿Puedes verlo?

Si lo lograste, ¡felicitaciones! Si no, observa esta figura extraída del mismo libro de Roger Nelsen, originalmente propuesta por Jeno Lehel [1]:

Explicación

La idea consiste en calcular de dos maneras diferentes el área $A$ del triángulo grande en función del área $\Delta$ de uno de los mini-triángulos equiláteros que lo componen.

A izquierda, esta área es obtenida como suma de las áreas de las bandas, las que contienen sucesivamente $1, 3, ..., 2n-1$ mini-triángulos. Obtenemos así
la igualdad de la izquierda $\Delta + 3 \cdot \Delta + \cdots + (2n-1) \cdot \Delta = A$.

A derecha, constatamos que el triángulo grande se obtiene a partir del pequeño por una dilatación (también llamada homotecia por los matemáticos) de razón $n$. Su área se dilata entonces por un factor igual a $n^2$, lo cual explica la igualdad de la derecha $A = n^2 \cdot \Delta$.

Finalmente, se concluye combinando las dos igualdades y simplificando $\Delta$.

Entender esta demostración me da cierto placer. Es para compartirlo que he escrito esta Nota. Nunca había relacionado la identidad aritmética de arriba con la propiedad geométrica fundamental que señala que una dilatación de razón $n$ de cualquier figura geométrica plana multiplica su área por $n^2$ [2] !

Post-scriptum :

Agradezco a Aurélien Alvarez y Étienne Ghys por sus observaciones a una versión preliminar de este artículo.

Notas

[1Él propuso esta prueba en la página 103 de Mathematics Magazine 64, No. 2 (1991).

[2Esta propiedad de las dilataciones permite también probar el teorema de Pitágoras, lo cual explica por qué en él aparecen cantidades elevadas al cuadrado. Serge Cantat y Andrés Navas dan pruebas con este argumento en los artículos Pitágoras y las curvas de Pólya y Una nueva prueba del teorema de Pitágoras.

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Para citar este artículo:

Andrés Navas — «Cuadrados triangulares» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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