¿Cuántas curvas sobre una superficie ?

Piste noire Le 15 mars 2013  - Ecrit par  François Guéritaud
Le 2 février 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Combien de courbes sur une surface ? Voir les commentaires
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Este paseo por el complejo de las curvas presenta a un público general algunas ideas vinculadas con la charla que Cyril Lecuire hizo el 23 de marzo de 2013, en el seminario Bourbaki, ’’Acerca de la clasificación de los grupos kleinianos y las laminaciones terminales (según Brock, Canary, Minsky...)’’.

Sobre una boya con varias asas, uno puede jugar a trazar curvas que se cierran sobre sí mismas sin cortarse. Por ejemplo, la superficie del agua donde flota la boya traza una curva así (o muchas). Pero existen otras mucho más complicadas que parecen, por ejemplo, enrrollarse hasta el infinito alrededor de las asas... ¿Cómo puede uno encontrarlas exactamente y compararlas en un sentido razonable ? Uno quisiera por ejemplo, poder decir que dos curvas son vecinas si se enrollan ’’casi tanto, casi en los mismos lugares’’...

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Sería bueno explicar lo que entendemos por curva y superficie. Nosotros fijamos la superficie, es decir, elegimos de una vez y para siempre el número de plazas en la boya [1]. Consideremos una curva trazada sobre la superficie que no se corta nunca (se dice que la curva es ’’simple’’ : así, la curva negra de la figura 1 queda excluida), pero que termina por regresar a su punto de partida (se dice que es ’’cerrada’’). Es más, cuando uno deforma la curva, sin obligarla a cortarse, consideramos que se trata siempre de la ’’misma’’ curva. Por ejemplo, las curvas que recortan un disco en la superficie (como la curva azul de la figura 1) son todas la misma salvo por deformación, y por otra parte es la única curva que uno podría acortar arbitrariamente deformando solo la curva y no la superficie [2]. Por lo tanto, no pasa nada si se la ignora a continuación : solo contarán las curvas, bastante más numerosas, que no delimitan un disco en la superficie.

Incluso con esta manera de ignorar las deformaciones, existen muchas curvas diferentes. Por ejemplo, si dos curvas dan la vuelta a dos asas diferentes, ninguna es una deformación de la otra (¡si bien esto no es del todo evidente !) O incluso, en la figura 1, la curva verde divide la boya en dos mitades y la curva roja no : uno puede entonces asegurarse de que ninguna deformación lleva la verde sobre la roja. El número de plazas (1 y 2) en cada mitad de boya que la curva verde recorta tampoco cambia por deformación.

Recortes

Si uno recorta una boya con $n$ plazas a lo largo de una curva, obtiene o bien una boya con $n-1$ plazas cuya superficie está perforada por dos hoyos, o bien dos boyas con $n'$ y $n''$ plazas perforadas con un hoyo cada una, con $n'+n''=n$. Esto parece claro en un dibujo donde la curva que uno recorta es bien corta, como las curvas roja o verde de la figura 1. Pero para curvas extremadamente largas, esto no salta a la vista. Sin embargo, uno puede demostrarlo : las boyas perforadas obtenidas luego del recorte están con precisión en general muy deformadas, con un agujero que ocupa ’’casi todo el lugar’’... En realidad parecen largas tiras pegadas borde con borde, como en la figura 2. Esas tiras además están en general ’’anudadas’’ juntas en el espacio, pero aquí uno ignorará ese hecho : solo importa, por así decir, la superficie en sí misma.

¿Se ha analizado todas las posibilidades ? No, para nada. Es fácil construir curvas (simples, cerradas) espantosamente largas y cerradas. Por ejemplo, dése una curva $A$ que se encuentre con otra, $B$. Considere la curva $C$ que sigue el recorrido de $A$ pero que, cada vez que se encuentre con $B$, gire hacia la derecha para ponerse a dar la vuelta completa a lo largo de $B$ antes de retomar tranquilamente su camino. No es demasiado difícil convencerse de que $C$ es todavía una curva simple (incluso si $B$ se encuentra con $A$ varias veces). En la figura 2 se ha dibujado (y no al primer intento...) una curva $C$ de longitud ya considerable.

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Se puede repetir esta operación numerosas veces, variando $B$, y las nuevas curvas tendrán muchos puntos de intersección con las más antiguas, de modo que en cada nueva etapa su longitud crece aún más rápido... Así, uno se convence de que hay una infinidad de curvas simples [3].

El grafo de las curvas

Los matemáticos tienen ganas entonces de decir que dos curvas son cercanas o ’’vecinas’’ si no se encuentran. A primera vista, esto puede parecer extraño : si dos objetos no se encuentran, ¡es justamente porque no están cercanos ! Sin embargo, suponga que una de las dos curvas se embobina de manera frenética alrededor de todas las asas de la superficie, hasta el punto que no deja ningún lugar libre : para no encontrarla, la segunda curva estará obligada a seguir más o menos las mismas espirales, de modo que su aspecto (visual, si se puede decir) será muy vecino.

En este sentido, ¿tiene muchas vecinas una curva ? ¡Un montón ! Tal como el conjunto de vecinas de una curva $A$ es el conjunto de todas las curvas de la superficie obtenida al recortar $A$ (y que aún es una boya con un cierto número de plazas y un borde), hay una infinidad [4] de
vecinas de $A$. Note además que si $A$ es bastante corta, dos vecinas muy largas (separadas por lo tanto de $A$) no tienen ninguna razón para parecerse en un sentido visual ingenuo : vea por ejemplo la figura 3. Así, de vecina en vecina, uno puede desplazarse muy rápido por el conjunto de las curvas, y en especial viajar de cualquier curva a cualquier otra [5].

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¿Tan rápido así ? Bueno, aquí hay un teorema :

Teorema 1  : Para todo natural (digamos 1000), existen curvas $A, B$ que uno puede volver a unir, de vecina en vecina, a un costo de 1000 etapas o más (se dice que ellas están ’’a distancia 1000’’).

Este resultado puede sorprender, ya que es notoriamente difícil dibujar a mano dos curvas a distancia digamos 4 o 5 una de otra. Por añadidura, la dificultad aumenta diabólicamente con el número de plazas de la boya. Sin embargo es así : incluso sobre una boya con 100 plazas, existen curvas a distancia 1000. Solamente que son muy, muy largas.

¿Cuán largas ?

Muy aproximadamente, al menos una de ellas debe tener como longitud alrededor de $100^{1000}$ (100 a la potencia 1000) o más, o sea un número de unas 2000 cifras... Como incluso la longitud de este número grande solo es conocida aproximadamente, poco importa a qué límite uno mide las longitudes en milímetros o en años-luz. Eso no hará más que añadir o suprimir una veintena de dígitos... ¡realmente son números muy grandes !

Sin embargo, a partir de los años 80 y 90, los matemáticos comenzaron a comprender mejor de modo abstracto este conjunto de todas las curvas, que ellos —en su jerga— llaman ’’espacio’’ o ’’complejo’’ o incluso ’’grafo’’ de las curvas.

¿Qué es un grafo ?

Para cada curva en la superficie, dése un punto (el mismo punto para dos curvas que son deformación una de la otra, ya que para nosotros son la ’’misma’’ curva). Este punto no habita sobre la superficie, sino en un espacio abstracto : piense en él como una estación sobre el plano del tren subterráneo. Luego, trate de unir dos puntos (dos estaciones) cada vez que las curvas correspondientes son vecinas una de la otra : dicho de otra forma, si no se encuentran en la superficie. Un trabajo largo... al cabo del cual el resultado debería parecerse a una especie de plano infinito del tren subterráneo. Es difícil de trazar en la práctica, pero es útil para representar el conjunto de las curvas, y la manera más rápida de pasar de una a otra.

Por ejemplo, las tres curvas de la figura 3 dan solo una pequeña porción del grafo de las curvas, que se parece a : \[\mathrm{(rojo)} -\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!- \mathrm{(azul)} -\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\mathrm{(verde)}.\]

Un resultado clave, obra de Masur y Minsky, es que

Teorema 2  : El grafo de las curvas es hiperbólico. Esto significa que si usted se da tres curvas cualesquiera $A, B, C$ sobre la superficie, entonces existe una cuarta, $O$, tal que los caminos más cortos para ir de $A$ a $B$, de $B$ a $C$, y de $C$ a $A$ (pasando de vecina en vecina) pasan todos por $O$ o, al menos, no muy lejos de $O$. Aquí, ’’no muy lejos’’ significa a lo más un numero $k$ que no depende de $A, B, C$ sino únicamente del número de plazas de la boya [6].

El término ’’hiperbólico’’ aparece en relación a la geometría no euclidiana : para puntos del plano ordinario $A, B, C, O$, la propiedad que se acaba de enunciar es falsa (por ejemplo, si el triángulo $ABC$ es muy grande) ; pero se convierte en verdadera en el plano hiperbólico, un objeto estudiado desde el siglo XIX y que todavía nos reserva sorpresas.

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Esta propiedad de hiperbolicidad (definida bajo esta forma por Gromov) vuelve locos a los matemáticos. Una razón importante es que permite definir un borde al infinito [7] y decir, por lo tanto, ’’en qué dirección se escapa’’ e incluso ’’hacia qué converge’’ una serie de curvas cada vez más complicadas.

¿Hacia qué converge una serie de curvas ?

Para dar una idea de este borde al infinito, vamos a introducir una manera de codificar las curvas mediante números naturales. Estos números podrán ser muy grandes (después de todo hay una infinidad de curvas) pero para cada curva formarán una lista cuya longitud es siempre la misma y sólo depende, una vez más, del número de plazas en la boya.

La idea de base —como una gran parte de lo que está presentado en este artículo— se debe a Bill Thurston (1946—2012), matemático estadounidense con extraordinaria intuición visual. El mundo verdaderamente ya no tiene el mismo aspecto después de haber sido mirado por un Miguel Angel o un Picasso ; con Thurston, es un poco lo mismo en el mundo matemático. Sus imágenes mentales tal vez han aportado aún más a la discipina que sus teoremas.

El punto de partida es mirar una curva muy larga, como la curva $C$ de la figura 2. En la mayoría de los lugares de la superficie, $C$ se parece mucho a una familia de hebras que viajan paralelamente unas con respecto a otras. En realidad, a riesgo de deformar un poco $C$ , uno puede hacerla parecer a los carriles de una red de autopistas [8] : esos carriles viajan en familias paralelas, excepto en un número finito de lugares, llamados « bifurcaciones », donde un enlace de autopista con $n$ carriles se subdivide en dos enlaces con $n'$ y $n''$ carriles (o bien, donde dos enlaces con $n'$ y $n''$ carriles se funden para dar un enlace con $n$ carriles), con $n'+n''=n$.

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El punto importante es que uno puede limitar el número de enlaces y de bifurcaciones a un número, siempre el mismo, dependiente sólo del número de plazas de la boya. Mejor todavía, variando la posición de las bifurcaciones y la manera en la cual están empalmadas, un número finito de redes de autopistas (coloquemos 10 para darnos una idea) basta para realizar todas las curvas simples cerradas, sólo variando el número de carriles de los diferentes enlaces. Así, una curva es justo la elección de una de las 10 redes de autopistas, seguida de la lista de los números de carriles.

Los números de carriles son, por lo tanto, números naturales, a veces muy grandes, a los cuales se les pide sólo satisfacer las relaciones del tipo $n=n'+n''$ de aquí arriba.

¿Multicurvas ?

Note que si uno multiplica todos esos naturales (número de carriles) por 2, obtiene dos copias de la misma curva $C$ corriendo paralelamente una a la otra... Más en general, no hay garantía fácil de que los números de carriles $n,n',n''...$ elegidos darán una curva más que un sistema de muchas curvas (que no se encuentren, por supuesto, pero en el cual algunas podrán venir en muchos ejemplares paralelos). Sin embargo, la probabilidad de obtener una razonable curva simple para grandes números de carriles $n, n',...$ sacados al azar es un número (además racional) estrictamente positivo, que sólo depende —una vez más— del número de plazas de la boya. Además, si uno obtiene muchas curvas, son mutuamente vecinas en el grafo de las curvas, por lo tanto podemos considerarlas como « aproximadamente la misma ».

¿Por qué entonces detenerse en tan buen camino ? Uno podría permitir que el número de carriles fuera cualquier número real (y no natural), midiendo de alguna forma el ancho de la autopista.

Apartado : las redes de autopistas forman una esfera

Note que existen curvas que están contenidas en dos redes de autopistas distintas : por ejemplo, uno puede cambiar las posiciones de algunas bifurcaciones (figura de abajo) sin cambiar de manera crucial las curvas que llevan.

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Ese problema tiene más que ver con la « tecnología » de autopistas que con el fondo del asunto ; digamos entonces simplemente que, en medio del conjunto de los sistemas de anchuras $r,r',...$ obtenidos para todas las redes de autopistas, hay algunas identificaciones naturales o « arreglos » por hacer. Se identifica también el sistema $r, r', r''...$ con $ar, ar', ar'',...$ para todo $a>0$.

Aquí hay un teorema central de esta teoría :

Teorema 3  : sobre una boya con $g$ plazas, después de las identificaciones necesarias, el conjunto de redes de autopistas (provistas de anchuras) se convierte en una esfera de dimensión $6g-7$ (o un círculo si $g=1$).

¿No me cree ? Es cierto que a uno le cuesta ver una esfera en cinco dimensiones... pero se trata de objetos familiares que tienen el mérito de hacer volver a los matemáticos a un terreno conocido [9].

Si $g=1$

Para $g=1$ (la boya ordinaria), sin embargo, uno puede mostrar lo que ocurre. Una curva cerrada sobre la boya debe dar la vuelta un cierto número de veces $(n)$ a la cintura del nadador, mientras se enlaza una cierta cantidad de veces $(n')$ alrededor de la boya misma. En realidad, esos dos números $n,n'$ bastan para determinar exactamente la curva excepto por deformación, y se convierten en dos reales $r,r'$ en general sobre una red de autopistas adecuada. Además, uno identifica $(r,r')$ en $(ar, ar')$, de manera que sólo el cuociente $u=r/r'$ importa. Es ese número $u$ el que se desplaza sobre una esfera de dimensión 1 (un círculo) en el enunciado del teorema : basta con recordar que $u=+\infty$ y $u=-\infty$ corresponden a la misma curva, ¡aquélla que da justo una vez la vuelta a la cintura del nadador ! La recta de los números reales se convierte en un círculo cuando se vuelve a pegar $+\infty$ con $-\infty$.

Para ayudar un poco a la visualización, yo recomiendo mucho los siguientes videos :

Desde lejos

Desde un poco más cerca

Los videos muestran una situación donde la « boya » es en realidad una esfera perforada con cinco agujeros. Una fórmula análoga (en presencia de agujeros) a aquélla del teorema dice que entonces se obtiene una esfera de dimensión $3$... que uno todavía puede esperar visualizar.

Lo que se ve

La esfera de dimensión 3 se parece esencialmente al espacio ordinario, excepto que todos los puntos situados muy lejos del origen están pegados juntos (tal como uno pega los extremos de una recta para obtener un círculo). En el video, cada pequeña bola representa una curva simple cerrada ; la bola es tanto más grande como la curva respectiva es corta. Es interesante buscar comprender a cuáles conjuntos de curvas corresponden los largos « filamentos » de bolas que se ve en el video...

¿Convencidos ahora ?

Fin del apartado

Volvamos a nuestras autopistas.
Una semejante lista de números reales $r,r',r''...$ (en lugar de naturales
$n,n',n'',...$), que describen las anchuras de las autopistas ¿tiene aún algo que ver con las curvas simples cerradas ?

Bueno, ¡sí ! En general, a una secuencia de curvas que se escapan en el grafo de las curvas, uno puede asociar un « límite » bajo la forma de una secuencia de números reales $r,r',...$, vistos como las anchuras de autopista y que tienen por suma $1$ (ese número $1$ es arbitrario : corresponde al hecho de que uno puede duplicar los $r,r',..$ tal como los $n, n'...$ sin cambiar seriamente la curva o « límite de curvas » definido).

¿Cuáles son los límites posibles ?

¿Se puede ser más preciso en cuanto a las listas de reales $r,r',...$ obtenidos ?
Por ejemplo, ¿cuándo entonces una tal lista corresponde a un punto del
borde al infinito del grafo de las curvas ? ¿y se puede obtener el mismo punto de muchas maneras distintas ? (Por supuesto, para responder en un caso preciso habría que conocer $r,r',...$ con una precisión infinita, ¿pero existe una caracterización en principio ?)

  • (1) Para que las anchuras $r,r'...$ definan un punto « al infinito », es necesario que la red de autopistas llene la superficie, en el sentido que no quede ningún lugar para que una curva simple cerrada $A$ se encuentre con la red (no importa cuál curva quede cerca de la red sería vecina de $A$, y por lo tanto seguramente ¡no se escaparía hacia el infinito !). Por la misma razón, no se puede permitir demasiados números reales $r,r',...$ que se anulen simultáneamente.
  • (2) Más sutilmente, las anchuras de autopista $r,r'...$ permiten seguir el camino de un punto de la autopista, viajando por ejemplo a una distancia dada $d$ del borde de un primer enlace de autopista : el punto sigue las bifurcaciones según la elección forzada por ese $d$, « sin cambiar nunca de carril ». Se dice que $d$ y $r,r',...$ determinan el camino. Es necesario exigir que para todo punto de partida, el camino seguido no se cierre jamás y termine por visitar todos los enlaces, lo que corresponde a una cierta propiedad de irracionalidad de las anchuras $r,r',...$
  • (3) Pero aquí está el punto más extraño : existen anchuras $r,r',r''...$ para los diferentes enlaces de autopistas, y otras anchuras $R,R',R'',...$ (no proporcionales a las primeras) tales que los caminos seguidos según $r,r',...$ y según $R,R',R'',...$ sean exactamente los mismos. Con más exactitud, cada vez que $d$ y $r,r',...$ determinan un camino dado en el primer sistema, existe $D=f(d)$ tal que $D$ y $R,R',...$ determinan el mismo camino en el segundo sistema. La función $f$ es en general continua, pero irregular : varía tanto muy rápido como muy lentamente, incluso dentro de un muy pequeño intervalo.

Este último punto es más bien sorprendente y los matemáticos han dedicado algún tiempo para despejarlo. En un sentido, se refiere a muy raros valores de $r,r',r''...$, para los cuales a los caminos « les falta muy poco » para cerrarse, parecido al número \[ \frac{1}{10^{1}}+\frac{1}{10^{1\times 2}}+\frac{1}{10^{1\times 2 \times 3}} + \frac{1}{10^{1\times 2 \times 3 \times 4}} + \dots = 0,110001~000000~000000~000001~000000...\] al cual « le falta muy poco » para ser decimal (o racional).
Lo cierto es que $r,r',r''...$ y $R,R',R'',...$ definen entonces el mismo punto al infinito del grafo de las curvas, igual que toda combinación de la forma $(ar+AR, ar'+AR', ar''+AR'',...)~$ con $a$ y $A$ positivos.

Moraleja :

En el infinito del grafo de las curvas, que es hiperbólico, se encuentra una esfera de dimensión $6g-7$ (como en el teorema 3), a la cual se ha quitado ciertos puntos « no (suficientemente) irracionales » (como en (2)), antes de aplastar algunos otros juntos (« demasiado cerca de los racionales » como $r,r',...$ y $R,R',...$ en (3)).

¡Para qué sirve eso ?

En los trabajos de Brock, Canary y Minsky, el grafo de las curvas y su comportamiento en el infinito juegan un rol crucial para comprender las degeneraciones de grupos kleinianos . Digamos una palabra acerca de eso aquí :

Un « grupo kleiniano » es el dato de muchas transformaciones del plano complejo, de la forma

\[ T(z) = \frac{az+b}{cz+d}\]

con $a,b,c,d$ complejos. Démonos muchas transformaciones $T_1, T_2, \dots, T_k$ de esta forma, y apliquémoslas a un punto base (digamos $0$) del plano complejo. Por ejemplo, en el $n$-ésimo instante se sortea una transformación $T_i$ entre $T_1,\dots , T_k$ y se aplica ya sea $T_i$, ya sea la transformación recíproca $T_i^{-1}(z)= \frac{dz-b}{-cz+a}$
(verifique que $T_i^{-1}(T_i(z))=z$...).

Para algunas elecciones de $T_1, \dots, T_k$, el resultado será que con el correr del tiempo, $z$ viene a acumularse sobre un conjunto fractal, a menudo muy lindo, llamado conjunto límite. Esos son los « buenos » casos. En los malos casos, $z$ visita el plano entero en el más gran desorden.

Cuando se cambia $T_1, \dots, T_k$ quedándose siempre en los « buenos » casos, este conjunto límite fractal se deforma. ¿Pero qué ocurre cuando la frontera entre los buenos y los malos casos se acerca ? Bueno, el conjunto límite se vuelve cada vez más irregular y se desmorona sobre sí mismo de manera vertiginosa mientras llena una « porción » cada vez más grande del plano.

Una imagen es tal vez un poco más decidora :

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un conjunto límite...

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... que se deforma...

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... se vuelve cada vez más rugoso...

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... y una fracción de segundo antes del desmoronamiento final :

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Impresionante ¿no ? [10]

El trabajo de Brock, Canary y Minsky consistió, en un sentido, en comprender exactamente de cuáles maneras posibles este desmoronamiento puede tener lugar, y a qué se parece el conjunto límite en el momento de la transición.

El vínculo con las curvas sobre una superficie es éste : se puede encontrar en el plano complejo una región $R$ separada del conjunto límite [11], bordeada por ejemplo por polígonos y arcos de círculo (eventualmente con muchos pedazos o agujeros), y en la cual las transformaciones $T_i$ pegan los lados de uno sobre el otro, de modo que después del pegado la región $R$ se convierte en una boya con un cierto número de plazas.

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A una curva simple cerrada, trazada sobre esta boya, se le puede asociar una longitud que depende de las $T_i$. Bueno, el desmoronamiento del cual hablamos corresponde al hecho de que algunas de esas curvas ven disminuir sus longitudes. Esto puede ocurrir incluso en curvas muy complicadas (situadas muy lejos en el grafo de las curvas [12]), y es por eso que la geometría de este grafo gobierna los tipos de desmoronamiento posibles.

Terminamos con algunas lindas imágenes de conjuntos límite :

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Post-scriptum :

Un gran agradecimiento a Masaaki Wada, cuyo programa OPTi permite producir magníficas imágenes de conjunto límite. Gracias también a David Dumas por los vínculos hacia los videos, así como a los relectores Didier Auroux, Thomas Sauvaget, Michele Triestino, cuyos comentarios han permitido mejorar este artículo.

Article original édité par François Brunault

Notes

[1Nadie puede convertir una boya de una plaza en una boya de dos plazas sin dividirla... pero uno sabe mostrar que de hecho toda superficie en una boya con un cierto número de plazas.

[2Para convencerse de eso, hay que notar que todo trozo demasiado corto de curva demasiado está de hecho contenido en un pequeño disco. Ahora bien, una curva contenida en un disco, que se cierra de nuevo sin jamás cortarse a sí misma, debe bordear un disco (tal vez deformado) : esta aparente evidencia, no tan fácil de demostrar, lleva el nombre de teorema de Jordan.

[3Pese a que son infinitas, estas curvas pueden ser enumeradas una por una, por ejemplo, en orden creciente de longitud (donde para medir la « longitud » de una curva deformable sobre una superficie fija, uno establece deformar la curva de manera que la hace aparecer lo más corta posible). En ese sentido, solo hay un número finito de curvas de longitud inferior a $1000$, por ejemplo.

[4Para una boya con una sola plaza, la definición dada hace que $A$ no tenga ninguna vecina más que ella misma : en este caso (y solamente en este), hay que modificar la definición y decir que es vecina de $A$ toda curva que interseca $A$ una sola vez.

[5¡No es evidente ! La idea para viajar de una curva $A$ a una curva $B$ es encontrar una curva $A'$ separada de $A$, que corte a $B$ únicamente menos seguido que $A$. Luego se recomienza con $A'$ para encontrar $A''$ que encuentra $B$ aún menos a menudo, etc. Por ejemplo, uno puede encontrar $A'$ pegando de nuevo (y deformando un poco) pedazos de $A$ con pedazos de $B$ bien elegidos.

[6Además no se sabe hasta hoy si este $k$ aumenta indefinidamente con el número de plazas de la boya.

[7Por ejemplo, el borde al infinito del plano hiperbólico es simplemente una circunferencia.

[8Los matemáticos, adeptos a los transportes colectivos, han elegido más bien, bajo la influencia de Thurston el término de « red ferroviaria ». La imagen de una autopista me parece un poco más elocuente aquí, porque uno puede contar los carriles, lo que es importante en la continuación. En los años 70, en Berkeley, Thurston (aún estudiante) y Sullivan pintaron un fresco -perdido hoy en día- sobre el muro del departamento de matemáticas que representaba una autopista así, con el fin, al parecer, de molestar a la administración.

[9Por ejemplo, se puede mostrar a partir del teorema 3 que para grandes valores de $N$, el número de curvas de longitud a lo más $N$ es del orden de $N^{6g-6}$, lo que responde en un sentido a la pregunta planteada en el título.

[10Los conjuntos límite son viejos clientes en este sitio : vea aquí, acá o el libro Indra’s Pearls, ya alabado en IdM. Por otra parte, todos los dibujos de conjuntos límite en este artículo son curvas de Jordan en el sentido de la nota 2, es decir, círculos deformados : la existencia de círculos tan prodigiosamente deformados permite entrever por qué el « teorema de Jordan » no es para tomarlo a la ligera.

[11Estar separada del conjunto limite puede obligar a la región $R$ a ser muy irregular al acercarse a los « malos » casos...

[12Más precisamente : al término del desmoronamiento, el conjunto de las curvas de longitud $\leq 1000$ en lugar de ser finito como en la nota 3, puede constar de una « rama » infinita que se escapa hacia el borde del grafo de las curvas.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Cuántas curvas sobre una superficie ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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