Curva equicordal

El 11 septiembre 2012  - Escrito por  Hamza Khelif
El 29 junio 2021  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Courbe équicordale Ver los comentarios
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La clase de las curvas equicordales es otra clase de curvas planas cerradas casi olvidadas o apenas conocidas, a semejanza de las catóptricas.

Sea $C$ una curva de Jordan, esto es una curva simple cerrada [1]. Un punto interior en $C$ se dice que es equicordal en relación a $C$ si todas las cuerdas que contienen ese punto (cuerdas específicas) tienen la misma longitud.

Una curva plana cerrada que tenga un punto equicordal se llama equicordal.

Una curva equicordal general es el conjunto descrito por un extremo de un segmento de recta de longitud constante $d$ que pasa por un punto fijo (el punto equicordal), pudiendo girar alrededor de ese punto y deslizarse sobre él en dirección de cada extremo, de tal manera que el extremo en cuestión llega a la posición inicial del otro extremo.

El círculo, por ejemplo, es una curva equicordal. El segmento ’’generador’’ es un diámetro y el punto equicordal es el centro del círculo (en este caso no hay deslizamiento).

La curva definida en coordenadas polares por la ecuación

\[\rho = 0,5 + 0,2\sin \theta + 0,2\cos 3\theta \]

es equicordal y el punto $O$ es equicordal (fig.1).

Las curvas definidas en coordenadas polares por la ecuación

\[\rho = f(\theta ),\]

donde $f$ verifica la relación

\[f(\theta ) + f(\theta + \pi ) = d,\]

son equicordales (por ejemplo $f(\theta ) = 2 + \sin \theta $).

Si una curva equicordal admite un eje de simetría, entonces el punto equicordal pertenece a este eje (fig.2) y el número de tales ejes no puede ser par.

Problema del punto equicordal

¿Existe una curva que tenga dos puntos equicordales distintos?

El problema fue planteado por Fujiwara en 1916 e independientemente por Blaschke, Rothe y Weizenböck en 1917.

En 1997, Marek R. Rychlik demostró que el problema no tiene solución, mostrando que el problema generalizado en las curvas fuertemente estrelladas no lo tiene.

Se dice que una parte $E$ de ${\bf R^2}$ es estrellada en relación al punto $O$ de $E$, si y solamente si por todo punto $M$ de $E$ el segmento $OM$ está incluido en $E$.
Una curva cerrada $C$ de ${\bf R^2}$ se dice que es estrellada en relación a $O$ si la componente acotada de ${\bf R^2}{\rm{\backslash }}C$ es estrellada en relación a $O$. Una curva $C$ se dice que es fuertemente estrellada en relación a $O$ si toda recta que contiene $O$ encuentra $C$ en exactamente dos puntos.

Si $C$ es fuertemente estrellada en relación a $O$, entonces es estrellada en relación a $O$.

Si $O$ es un punto equicordal para la curva $C$, entonces $C$ es fuertemente estrellada en relación a $O$.

Problema del punto equicordal para las curvas fuertemente estrelladas

¿Existe una curva de Jordan $C$ para la cual existan dos puntos ${O_1}$ y ${O_2}$ en la componente acotada de ${\bf R^2}{\rm{\backslash }}C$ con la propiedad de que $C$ sea fuertemente estrellada en relación a ${O_1}$ y ${O_2}$ y tal que ${O_1}$ y ${O_2}$ sean puntos equicordales para $C$?

La pregunta original (Fujiwara) suponía la curva convexa; así Rychlik había resuelto el problema del punto equicordal completamente.

Las curvas equicordales, como generalización de la circunferencia, encuentran sus aplicaciones por ejemplo en Mecánica, para la construcción de bombas hidráulicas o neumáticas.

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Références

1. Marek R. Rychlik, A complete solution to the equichordal point problem of Fujiwara, Blaschke, Rothe and Weizenböck. Inventiones. mathematicae. 129, 141–212, Springer-Verlag (1997).

2. Ferenc Adorjàn, Equichordal curves and their applications-The geometry of a pulsation-free pump, Applied Reactor Physics Department, KFKI Atomic Energy Research Institute, H-1525 Budapest, Hungary.

Post-scriptum :
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Este nota es una reproducción íntegra del artículo del mismo nombre, del manuscrito de la segunda edición de mi libro «El jardín de las curvas. Diccionario razonado de las curvas planas famosas y notables}».

Notas

[1Una curva de Jordan es la imagen de una aplicación continua $\varphi $ del intervalo $[0,1]$ en el plano tal que $\varphi (0) = \varphi (1)$ y tal que la restricción de $\varphi $ en el intervalo abierto $(0,1)$ sea inyectivo.

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Curva equicordal» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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