Curvas peligrosas

Le 29 janvier 2020  - Ecrit par  Josep Sales, Francesc Banyuls
Le 16 juin 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Courbes périlleuses Voir les commentaires
Lire l'article en  

El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicado por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad, -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas, bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...

Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Se agregó prefacios y listas bibliográficas. Le Monde consagra un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.

Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Estará acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

Extracto del Capítulo 5 - Las curvas en la naturaleza, el arte y el diseño

La espiral de Arquímedes

El matemático griego Arquímedes estudió esta espiral en el año 225 A.C. en su tratado De las espirales, en el cual la utiliza para resolver dos de los tres grandes problemas de la Antigüedad : la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. Esta espiral es la curva de un punto en desplazamiento uniforme sobre una recta de un plano, donde la recta se da vuelta sobre sí misma alrededor de uno de sus puntos. Es, por ejemplo, la curva del surco de un disco de vinilo. El punto $(0,0)$ es el centro de rotación. Es un caso límite de espiral de Arquímedes de radio $r = 0$ y de ángulo $\theta = 0$. Se trata de una curva transcendente. Las coordenadas polares de la espiral siguiente son
$r = 5\theta$ para un paso de $10 \pi \cong 31,42$. Su ecuación paramétrica se escribe :

\[ \left\{ \begin{array}\\x= 5t\text{cos}(t)\\ y= 5t\text{sen} (t) \end{array} \right.\]

PNG - 43.1 ko

El hecho de que la espiral sea una figura muy fácil de dibujar explica por qué es usada como motivo ornamental desde la noche de los tiempos. Por ejemplo, el alfarero no tenía más que colocar su pincel sobre el objeto y dejar que se desplazara en una dirección dada desde el centro hasta el borde, a velocidad constante, sobre su torno. Se encuentran espirales en ciertas tumbas que datan de la edad del bronce, en vasijas griegas y etruscas de la Antigüedad, y adornando cerámicas populares, como platos. Los celtas crearon un motivo con tres espirales girando en ambos sentidos dentro de un círculo, que adornaba cobijas y joyas, simbolizando la dualidad de fuerzas que están en constante interacción en la naturaleza y el equilibrio que representa la cifra tres.

Esta espiral tiene propiedades muy especiales. Por ejemplo, el área de la espiral durante la primera espira vale el tercio del área del disco que la contiene.

La espiral de Arquímedes es casi universalmente utilizada como perfil de la leva de un aparato mecánico, un motor por ejemplo. Las levas de los engranajes tiene a menudo perfiles en espiral de Arquímedes, ya que invirtiendo las propiedades de la curva y haciendo girar la espiral alrededor de su centro, las tangentes a la desarrollante que tiene una dirección dada se desplazan en un movimiento de traslación uniforme, gracias a un resorte, como lo muestra la siguiente ilustración :

PNG - 63.7 ko

[...]

La cadenita

La cadenita, o catenaria bajo su forma latina, es el aspecto tomado por un hilo flexible infinitamente delgado e inextensible suspendido de sus extremidades y sometido únicamente a su propio peso. Galileo se equivocó cuando consideró que la solución a ese problema debía tomar la forma de una parábola. Leibniz, Huygens y Jean Bernoulli mostraron en 1691 que eso era falso y escribieron su ecuación correcta.

[...]

La sección transversal del velamen inflado por el viento en una embarcación es también una catenaria, ya que la fuerza horizontal que el viento ejerce sobre la vela es similar a la acción de la fuerza de gravitación sobre una cadena, como lo muestran las fotos.

PNG - 120 ko
PNG - 120.5 ko

Jacques Bernoulli llamó por ciento a esta curva ’’velar’’, ya que le hacía pensar en una vela.

Si uno hace rodar una parábola a lo largo de una recta, el foco de la parábola describe la curva de una catenaria. Cerca de su vértice, una catenaria se parece mucho a una parábola, aunque la parábola tenga una flecha más grande que la catenaria.

La catenaria tiene por propiedad ser el lugar geométrico de los puntos sobre los cuales las tensiones horizontales de un cable se compensan. De esta manera, el cable no sufre tensiones laterales ni se balancea sobre sus costados. Las tensiones, por lo tanto, quedan repartidas entre una fuerza vertical (la atracción terrestre) y una tensión tangente al cable en todo punto, que permiten a este último estar constantemente tendido.

Consideremos un elemento arquitectónico estructural lineal sometido a cargas verticales : el eje barocéntrico (el eje de la simetría de la sección de un elemento) describirá naturalmente la curva de una catenaria para disminuir las tensiones sobre los materiales de este elemento estructural. Se utiliza esta propiedad para construir arcos. La curva catenaria invertida es la forma de un arco que compensará más los esfuerzos de compresión de esta estructura. Es por eso que los arquitectos han recurrido principalmente a la catenaria para construir un arco. Fue utilizada especialmente por el arquitecto español Antoni Gaudí.

PNG - 70.4 ko
Ilustración matemática de un modelo de catenaria y modelo 2D de una catenaria de la Casa Vicens de Gaudí.

Consideremos un arco con la forma de una catenaria : la tensión que esta estructura soporta en cada punto está repartida entre un componente de vertical -que deberá soportar en sí mismo el arco- y un componente de presión, transmitido por el arco a los cimientos de la estructura sin que eso implique esfuerzos horizontales más que en los extremos del arco. Los muros de las iglesias romanas que sostenían los arcos de medio punto de las puertas y ventanas eran siempre muy anchos para evitar que se fisuraran. Los arquitectos de la Edad Media no encontraron tampoco la forma idónea para transmitir los esfuerzos laterales, aunque las ojivas de los monumentos góticos se acercan a la catenaria. Necesitaban por lo tanto concebir arbotantes que contrapesaran el empuje lateral de los arcos y absorbieran y transmitieran las tensiones horizontales hacia los cimientos.

Para una misma longitud entre los puntos suspendidos, la parábola es menos puntuda que la catenaria (que produce una flecha más grande). Si un punto abovedado describe una curva parabólica, la flecha (el punto más bajo del puente, en su centro) está ligeramente más baja que en una catenaria. El peso del cable de un puente suspendido puede parecer ínfimo en relación al peso total de ese último, y sin embargo el cable describe una curva parabólica.

En cuanto a las catenarias que alimentan los trenes, el hilo superior y el hilo de contacto tienen el mismo peso. Se puede por lo tanto aplicar el razonamiento anterior. En realidad, hay muy poco hilo de suspensión y el hilo superior tiene más bien la forma de una línea poligonal.

PNG - 137.7 ko
El Gateway Arch de Saint-Louis, en Missouri, tiene una forma de catenaria.

PDF - 2.2 Mo
Sommaire du livre

Para saber más

Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro Patrick Popescu-Pampu. Él responderá los eventuales comentarios.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Curvas peligrosas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Dossiers

Cet article fait partie du dossier «El mundo es matemático» voir le dossier