Curvatura y distancia de Hausdorff

Piste rouge Le 26 décembre 2011  - Ecrit par  Pierre Lecomte
Le 27 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Courbure et distance de Hausdorff Voir les commentaires
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Una circunferencia tiene una curvatura tanto más pronunciada cuanto su radio es pequeño. Esto se ve bien observando las circunferencias tangentes a un mismo punto en una recta, como se ilustra en la siguiente figura. Mientras más pequeño el radio, la circunferencia más se ’’separa’’ de la recta. A la inversa, mientras más se agranda el radio, la circunferencia da la impresión de ’’acercarse’’ más.

Seamos prudentes con tales afirmaciones : si bien intuitivamente la semicircunferencia delimitada por el diámetro paralelo a la recta que contiene el punto de tangencia parece aplastarse progresivamente sobre sí a medida que el radio crece, siempre hay puntos cuya distancia a la tangente vale ese radio, y que están por lo tanto arbitrariamente alejados de la recta.

Es cierto que estos puntos están igualmente cada vez más alejados del punto de tangencia. Se puede por lo tanto esperar que las afirmaciones en cuestión se vuelvan rigurosas, limitándose a un segmento de la tangente y observando los arcos de las semicircunferencias que se proyectan encima (y, para simplificar, situadas de un mismo lado de la tangente).

Así, vamos a fijar un segmento de la tangente cuya mitad sea el punto de tangencia de las circunferencias y observar los arcos de circunferencia delimitados por dos semi-rectas perpendiculares a la tangente llevados por los extremos de ese segmento. Esto está ilustrado en el siguiente dibujo, donde el segmento y algunos arcos están representados en rojo.

Denotaremos $2\ell$ a la longitud del segmento y $r$ el radio de una circunferencia tangente. Cuando $r\leq \ell$, la circunferencia se proyecta completamente en el segmento. Son más bien las circunferencias para las cuales $r>\ell$ las que nos interesan, lo cual no es una restricción ya que nos preparamos para hacer tender $r$ hacia el infinito.

El conjunto de las partes compactas no vacías de un espacio euclidiano $E$ está provisto de una distancia bien útil en geometría : la distancia de Hausdorff. Es esta la que vamos a utilizar para expresar el hecho de que los arcos de círculos tienden hacia el segmento. Ella está definida de la siguiente manera.

Primero, a toda parte (no vacía) $e$ de $E$ y a todo número real positivo $t$, se asocia lo que yo llamo a veces el $t$-ensanchado de $e$, a saber, el conjunto de los puntos situados a una distancia a lo más $t$ de $e$ :

\[ e_t=\{x\in E|d(x,e)\leq t\}\]

Es la unión de las bolas cerradas de radio $t$ centradas en los puntos de $e$. Vea por ejemplo lo que esto puede dar para un pentágono en un plano. En este dibujo, el pentágono está coloreado y el trazo negro representa la frontera de uno de sus ensanchamientos.

La distancia de Hausdorff de dos compactos no vacíos $e$,$f$ es entonces

\[d_H(e,f)=\inf\{t\in]0,+\infty[\ |\ e\subset f_t\quad \&\quad f\subset e_t\}\]

Es fácil verificar que esta fórmula define bien una distancia sobre el conjunto de los compactos no vacíos de $E$, pero yo no lo haré aquí. Se puede también establecer que $d_H$ hace de este conjunto un espacio métrico completo, separable, cuyos compactos son las partes acotadas y cerradas.

Esto espacio admite un cerrado privilegiado. Se trata del conjunto de los convexos compactos no vacíos, sobre el cual no solamente la medida de Lebesgue sino también todas las funcionales de Minkowski [1] son continuas, lo cual explica muchas cosas.

Por ejemplo, la secuencia de los polígonos regulares inscritos en una circunferencia (y en el cual se impone un vértice común, por ejemplo) tiende hacia el disco delimitado por ese círculo en el sentido de la distancia de Hausdorff. Desde entonces no solamente el área de los polígonos tiende hacia la del disco, sino también su perímetro tiende hacia la longitud de la circunferencia.

Volvamos a nuestro modesto problema del comienzo y verifiquemos que, cuando el radio tiende al infinito, los arcos de circunferencia considerados tienden -en el sentido de la distancia de Hausdorff- hacia el segmento de la tangente sobre la cual se proyectan.

Tal como se ve en la figura siguiente, cuando $r>\ell$, la distancia de Hausdorff $\delta$ entre el arco de círculo de radio $r$ y el segmento de recta que nos interesan es la longitud del segmento que separa dos de sus extremos, situados del mismo lado del punto de tangencia, como por ejemplo los puntos notados $P,Q$ aquí abajo.

Un pequeño cálculo da

\[ \delta=\|\overrightarrow{PQ}\|=r-\sqrt{r^2-\ell^2}\]

Como consecuencia,

\[ \lim\limits_{r\to+\infty}\delta=\lim\limits_{r\to+\infty}\frac{(r-\sqrt{r^2-\ell^2})(r+\sqrt{r^2-\ell^2})}{r+\sqrt{r^2-\ell^2}}=\lim\limits_{r\to+\infty}\frac{\ell^2}{r+\sqrt{r^2-\ell^2}}=0\]

de conformidad a la intuición.

Post-scriptum :

Este texto fue publicado inicialmente en el blog del autor.

Notes

[1Para un convexo compacto no vacío, la medida de $e_t$ es un polinomio en $t$, cuyo grado es la dimensión $n$ de $E$ : \[\mathrm{mes}(e_t)=\mu_0(e)+\mu_1(e)t+\cdots +\mu_n(e)t^n\] Las $\mu_i$ son las funcionales de Minkowski. La primera es la medida de $e$ ; en el caso plano, la segunda es su perímetro ; es su superficie lateral en dimensión 3, etc. La última es independiente de $e$, a saber, la medida de las bolas de radio $1$.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Curvatura y distancia de Hausdorff» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - La imágenes fueron creadas a partir del programa computacional GeoGebra.

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