Un défi par semaine

Décembre 2016, 3e défi

Le 16 décembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 51 :

Paula écrit la suite de nombres suivante : $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $21$, $28$, $36, \ldots$. Si le dernier nombre qu’elle écrit possède trois chiffres égaux, combien de nombres a-t-elle écrits ?

Solution du 2e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $10$ billes bleues.

Appelons respectivement $x$, $y$ et $z$ les nombres de billes blanches, bleues et vertes contenues dans le sac. Nous savons que $x+y+z=30$. En tirant au hasard $25$ billes, Louis est sûr d’avoir sorti au moins $5$ billes bleues ; nous avons donc $25 -(x+z)\geq 5$.

De la première équation nous tirons $x=30 -(y+z)$ et en substituant $x$ dans l’inéquation, nous obtenons :

$25-(30-y-z+z) \geq 5$

$y \geq 10.$

Comme en tirant au hasard 25 billes, Louis est sûr d’avoir sorti 3 blanches, nous avons $25-(y+z)\geq 3$, d’où $22\geq y+z=30-x$ et donc $x\geq 8$. De même, nous obtenons $25-(x+y)\geq 7$, d’où $x+y\leq 8$. Comme $x\leq 8$, nous obtenons $y\leq 18-x\leq 10$. Ainsi, dans le sac de Louis il a $10$ billes bleues.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Décembre 2016, 3e défi

    le 16 décembre 2016 à 11:34, par ROUX

    J’ose tenter de faire sourire Daniate (je ne crains pas d’être foudroyé si il ne sourit pas ;)) et j’indique alors préférer la formulation : « Si le dernier nombre qu’elle écrit est le premier nombre à posséder trois chiffres identiques etc. ».
    Au moins, j’aurai tenté quelque chose pour discuter au moins une fois de l’unicité de la solution :) !!!
    Alors, clairement, le nombre de rang n est égal à n(n+1)/2.
    Le premier nombre à avoir trois chiffres identiques est de la forme aaa et vaut donc 100a+10a+a=111a.
    n(n+1)=222a avec a variant de 1 à 9.
    Je peux développer n(n+1), poser l’équation du second degré et chercher la plus petite valeur de a pour laquelle le discriminant est un carré, et, zou.
    Mais sans doute pas élégant...
    Alors : 222=2*3*37 donc 222a=2*3*a*37 donc a=6 me garantit que je viens d’écrire 36*37 donc n=36.
    et 37 est bel et bien le (n+1).
    Elle a donc écrit 36 nombres.

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