Un défi par semaine

Décembre 2017, 2e défi

Le 8 décembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 49 :

De combien de façons pouvons-nous choisir dans l’ensemble $\{1, 2, \dots, 9\}$ sept nombres dont la somme soit divisible par $3$ ?

Solution du 1er défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $255$.

La somme des $n$ premiers entiers positifs pairs est

$2+4+6+\cdots+2n=2(1+2+3+\cdots+n)=n(n+1).$

La somme des $m$ premiers entiers positifs impairs est

$(1+2+3+\cdots+2m)-(2+4+\cdots+2m)=\frac{2m(2m+1)}{2}- m(m+1)=m^2.$

Les conditions du problème impliquent que $m^2-212=n(n+1)$, ce qui peut s’écrire $n^2+n+(212-m^2)=0$. Les solutions sont :

$n=\frac{-1\pm \sqrt{1-4(212-m^2)}}{2}.$

Ainsi, $1-4(212-m^2)=4m^2-847$ doit être le carré d’un entier positif.
Soit $p^2=4m^2-847$, ce qui peut se factoriser en $(2m+p)(2m-p)=847$. La décomposition en facteurs premiers de 847 est $7\times 11^2$, donc les seules factorisations de $847$ sont $847 \times 1$, $121 \times 7$ et $77 \times 11$, et puisque ces valeurs sont égales à $2m+p$ et $2m-p$, on obtient $(m,p)=(212,423), (32,57)$ et $(22,33)$. On trouve alors les valeurs possibles pour $n$ en utilisant le fait que $n=\frac{-1+p}{2}$, ce qui nous donne les valeurs $211, 28$ et $16$ respectivement. Ainsi, la somme des valeurs possibles pour $n$ est $211+28+16=255$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MAURITUS IMAGES / IMAGEBROKER / J.W. ALKER / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

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  • Décembre 2017, 2e défi

    le 8 décembre 2017 à 11:07, par Niak

    La somme de l’ensemble est $45$, divisible par $3$, donc choisir sept nombres dont la somme est divisible par $3$, c’est exactement en choisir deux (à exclure) dont la somme est également divisible par $3$. Pour chaque $0\leq r<3$ on a exactement trois nombres congrus à $r$ modulo $3$ dans l’ensemble. Ainsi l’on a $\binom{3}{2}=3$ choix possibles de deux nombres congrus à $0$ et $3\times3=9$ choix possibles d’un congru à $1$ avec un congru à $2$. D’où $3+9=12$ choix possibles au total.

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