Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Décembre 2017, 5e défi

Le 29 décembre 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 52 :

Combien de nombres, compris entre $1$ et $2017$, peuvent être écrits comme la somme d’au moins deux puissances de $3$ différentes ?

Solution du 4e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $5$ nombres.

Soit $ab$ un entier sympathique à deux chiffres $a$ et $b$. Par définition nous avons $ab=k\times a\times b$, avec $k$ un nombre entier positif. En utilisant l’écriture décimale de $ab$, nous pouvons écrire :

$10a+b = k\times a\times b$

$b =a(k\times b-10),$

Nous en déduisons que $b$ est un multiple de $a$, c’est-à-dire que $b=a\times r$, avec $r$ un nombre entier tel que $1\leq r\leq 9$. En substituant, nous obtenons : $a(k\times b-10) = a \times r$, et donc $r=k\times b-10$. En poursuivant, nous avons $r+10=k\times a\times r$, d’où $r(k\times a-1)=10$. En particulier, $r$ est un diviseur de $10$, c’est-à-dire que $r=1, 2$ ou $5$.

Si $r=1$ alors $k\times a=11$. Puisque $a$ est un chiffre, $a=1$ et $k=11$. Donc $ab=11$.
Si $r=2$ alors $k\times a=6$ et $b=2\times a$, donc $ab$ est égal à $12, 24$ ou $36$.
Si $r=5$ alors $k\times a=3$ et $b=5\times a$, donc l’unique possibilité est $ab=15$.

Ainsi il existe cinq nombres sympathiques : 11, 12, 15, 24 et 36.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Décembre 2017, 5e défi

le 29 décembre 2017 à 12:38, par Niak

Il s’agit des nombres inférieurs à $2017$ dont l’écriture en base $3$ comporte au moins deux $1$ et aucun $2$ (puissances distinctes). Comme $2017$ s’écrit $2202201$ en base $3$, sur sept chiffres en commençant par un $2$, les nombres inférieurs à $2017$ vérifiant la propriété précédente sont exactement ceux s’écrivant sur au plus sept chiffres en base $3$. Il y en a $2^7-1-7=120$ (choix de $0$ ou $1$ pour chaque chiffre, on retire $0$ et ceux ne comportant qu’un seul $1$ du compte).
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Décembre 2017, 5e défi

le 29 décembre 2017 à 13:02, par Niak

Précisons que dans ce raisonnement on considère $1=3^0$ comme une puissance de $3$, mais si l’on choisissait de l’exclure (i.e. de fixer le dernier chiffre à $0$) il resterait $2^6-1-6=57$ nombres.
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Décembre 2017, 5e défi

le 29 décembre 2017 à 16:09, par Celem Mene

C’est ennuyeux, j’en trouve 58. La liste est dessous. Il y en a 59, mais 1729 apparaît deux fois (positions 11 et 59).

Je n’ai pas ton brillant raisonnement, alors je l’ai résolu à l’aide de l’informatique.

1 : 1³ + 2³ = 9
2 : 1³ + 3³ = 28
3 : 1³ + 4³ = 65
4 : 1³ + 5³ = 126
5 : 1³ + 6³ = 217
6 : 1³ + 7³ = 344
7 : 1³ + 8³ = 513
8 : 1³ + 9³ = 730
9 : 1³ + 10³ = 1001
10 : 1³ + 11³ = 1332
11 : 1³ + 12³ = 1729
12 : 2³ + 3³ = 35
13 : 2³ + 4³ = 72
14 : 2³ + 5³ = 133
15 : 2³ + 6³ = 224
16 : 2³ + 7³ = 351
17 : 2³ + 8³ = 520
18 : 2³ + 9³ = 737
19 : 2³ + 10³ = 1008
20 : 2³ + 11³ = 1339
21 : 2³ + 12³ = 1736
22 : 3³ + 4³ = 91
23 : 3³ + 5³ = 152
24 : 3³ + 6³ = 243
25 : 3³ + 7³ = 370
26 : 3³ + 8³ = 539
27 : 3³ + 9³ = 756
28 : 3³ + 10³ = 1027
29 : 3³ + 11³ = 1358
30 : 3³ + 12³ = 1755
31 : 4³ + 5³ = 189
32 : 4³ + 6³ = 280
33 : 4³ + 7³ = 407
34 : 4³ + 8³ = 576
35 : 4³ + 9³ = 793
36 : 4³ + 10³ = 1064
37 : 4³ + 11³ = 1395
38 : 4³ + 12³ = 1792
39 : 5³ + 6³ = 341
40 : 5³ + 7³ = 468
41 : 5³ + 8³ = 637
42 : 5³ + 9³ = 854
43 : 5³ + 10³ = 1125
44 : 5³ + 11³ = 1456
45 : 5³ + 12³ = 1853
46 : 6³ + 7³ = 559
47 : 6³ + 8³ = 728
48 : 6³ + 9³ = 945
49 : 6³ + 10³ = 1216
50 : 6³ + 11³ = 1547
51 : 6³ + 12³ = 1944
52 : 7³ + 8³ = 855
53 : 7³ + 9³ = 1072
54 : 7³ + 10³ = 1343
55 : 7³ + 11³ = 1674
56 : 8³ + 9³ = 1241
57 : 8³ + 10³ = 1512
58 : 8³ + 11³ = 1843
59 : 9³ + 10³ = 1729
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Décembre 2017, 5e défi

le 29 décembre 2017 à 17:40, par orion8

Euh... Puissances de trois, et non pas puissances 3 !
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Décembre 2017, 5e défi

le 29 décembre 2017 à 22:00, par Niak

Une puissance de $3$ est un nombre de la forme $3^k$, alors que vous avez considéré les entiers au cube ($n^3$). (Et par ailleurs il vous en manque, par exemple $36 = 1^3+2^3+3^3$, puisque l’énoncé indique « somme d’au moins deux ».)
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Décembre 2017, 5e défi

le 30 décembre 2017 à 07:07, par orion8

Ainsi que $1=0^3+1^3$, $8=0^3+2^3$, $27=0^3+3^3$, etc.
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Décembre 2017, 5e défi

le 30 décembre 2017 à 11:31, par Celem Mene

Tonnere ! J’y retourne.
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Décembre 2017, 5e défi

le 2 janvier 2018 à 12:01, par drai.david

Il est amusant de constater que l’erreur de Celem Mene lui a fait redécouvrir Ta(2), le fameux 2ème nombre taxicab popularisé par Ramanujan...
Voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_taxicab
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