Un défi par semaine

Décembre 2018, 3e défi

El 21 diciembre 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 51

Soient $h$, $m$, $t$ et $u$ des nombres entiers tels que
$h+u=m+t$.

Le nombre $1000 m+100 h+10t+u$ est-il divisible par $11$?

Solution du 2e défi de décembre :

Enoncé

La solution est : $\dfrac{4}{455}$.

Comptons d’abord le nombre total de triplets de bâtonnets qu’on peut former.

Comme l’ordre dans lequel on prend les trois bâtonnets n’a pas d’influence, il y a $\binom{15}{3}=\frac{15\times 14\times 13}{3!}=455$ triplets possibles.

En utilisant le théorème de Pythagore on sait que avec trois bâtonnets de longueurs $a,b$ et $c$, avec $a>b>c$, forment un triangle rectangle si et seulement si $a^2=b^2+c^2$.

Les seuls triplets qui satisfont cette condition sont (5, 4, 3), (10, 8, 6), (13, 12, 5) et (15, 12, 9).

Par conséquent, la probabilité de tirer un de ces triplets est de $\frac{4}{455}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Décembre 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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  • Décembre 2018, 3e défi

    le 21 de diciembre de 2018 à 22:53, par bistraque

    L’usage du critère de divisibilité laisse penser que m, h, t et u sont des chiffres (de 0 à 9) ce qui n’est pas le cas d’après l’énoncé. Autant donc utiliser l’origine de ce critère: l’arithmétique modulo 11
    10 = -1 mod 11 donc 100 = 10 . 10 = 1 et 1000 = -1
    d’où 1000m + 100h + 10t + u = -m + h - t + u = 0 mod 11

    Répondre à ce message

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