• Si on a $p=2$, alors $x$ est pair, et les diviseurs pairs de $x$ sont alors $p, p^2, p^3, \dots, p^r$. Comme il en faut six en dehors de $x$ (car si on décompose $x$ sous la forme $1\times x$, on a un problème puisque $1$ est impair), on a alors $r\ge 7$, et donc $x\ge 2^7=128$. Notons que $x=128$ marche, puisqu’on a $128=2\times 64=4\times 32=8\times 16$.

• Si $p$ est impair, alors les diviseurs impairs de $x$ sont $1, p, p^2, \dots, p^r$. Comme il en faut six, on a alors $r\ge 5$, et donc $x\ge 3^5=243$, ce qui est moins bien que $128$.

• Si $x$ est pair, alors on a $p=2$, et les diviseurs pairs de $x$ sont $p$, $pq$, $pq^2$, $\dots$, $pq^s$, $p^2, p^2q, \dots,$ $p^2q^s, $ $ p^3,\dots, p^r q^s$.

Comme chaque diviseur doit être apparié avec des diviseurs de la même parité, on ne considère que les diviseurs de la forme $p, pq, pq^2$, $\dots$, $pq^s$, $p^2, p^2q, \dots,$ $p^2q^s, $ $ p^3,\dots, p^{r-1} q^s$, qui sont au nombre de $(r-1)\times(s+1)$.

Si $r=2$, alors on a $s\ge 5$, et donc $x\ge 2^23^5=972$, ce qui est trop grand.

Si $r=3$, alors on a $s\ge 2$, et donc $x\ge 2^33^2=72$. Notons que $x=72$ marche, puisqu’on a $72=2\times 36=4\times18=6\times 12$.

Si $r=4$, alors on a $s\ge 1$, et donc $x\ge 2^43=48$. Notons que $x=48$ marche, puisqu’on a
$48=2\times 24=4\times 12=8\times 6$.

Si $r\geq 5$ alors on a $s\ge 1$ et ce cas est forcément moins bon que le précédent.

• Si $x$ est impair, alors les diviseurs impairs de $x$ sont $1, q, q^2$, $\dots$, $q^s$, $p$, $pq, pq^2, \dots pq^s, p^2,\dots, p^r q^s$. Ils sont au nombre de $(r+1)(s+1)$ avec $r, s\ge1$.

Si $r=1$ alors on a $s\ge 2$, et donc $x\ge 3\times 5^2=75$, ce qui est moins bien que $48$.

Si $r\ge2$ alors on a $s\ge 1$, et donc $x\ge 3^2 \times5=45$. Notons que $x=45$ marche, puisqu’on a $45=1\times 45=3\times 15=5\times 9$.

• Si $x$ est pair, alors $p=2$ et on doit avoir $u\ge2$ pour pouvoir apparier les diviseurs pairs. On a alors $x\ge 2^2\times 3\times 5=60$.

• Si $x$ est impair, alors on a $x\ge 3\times 5\times 7=105$.