Décembre 2020, 1er défi

Le 4 décembre 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».
De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 49

Jeanne, Karim et Laura jouent à un jeu en six manches indépendantes. À chaque manche l’une d’entre elles gagne. Jeanne a une chance sur deux de gagner, et Karim a deux fois plus de chances de gagner que Laura. Quelle est la probabilité que Jeanne gagne trois manches, Karim deux et Laura une ?

Solution du 4e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est : $(0,0)$, $(1,1)$ et $(2,2)$.

Considérons dans un premier temps une solution vérifiant $x=y$.

Dans ce cas, $x$ satisfait les égalités :

\[\begin{eqnarray*} x^4-2x^3-x^2+2x & = & 0\\ x(x^2-1)(x-2) & = & 0\\ x(x-1)(x+1)(x-2) & = & 0. \end{eqnarray*} \]

Comme $x=y$ est positif ou nul, on obtient les paires $(0,0)$, $(1,1)$ et $(2,2)$.

Considérons maintenant une solution quelconque. Il découle de l’équation vérifiée par $(x,y)$ les égalités :
\[ y= x(y+2y^2-1-x^2y)\qquad \mbox{et}\qquad x= y(x-x^3-1+2xy). \]

Mais les expressions $(x-x^3-1+2xy)$ et $(y+2y^2-1-x^2y)$ sont entières, donc $x$ divise $y$ par la première égalité et $y$ divise $x$ par la seconde. Les nombres $|x|$ et $|y|$ sont alors égaux, et comme $x$ et $y$ sont positifs, on a nécessairement $x=y$.

En fin de compte, les seules solutions sont $(0,0)$, $(1,1)$ et $(2,2)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Décembre 2020, 1er défi

le 5 décembre 2020 à 12:55, par Al_louarn

Exact ! Merci :-)
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