Un défi par semaine

Décembre 2020, 1er défi

El 4 diciembre 2020  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : «Le ciel dans tous ses états».
De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 49

Jeanne, Karim et Laura jouent à un jeu en six manches indépendantes. À chaque manche l’une d’entre elles gagne. Jeanne a une chance sur deux de gagner, et Karim a deux fois plus de chances de gagner que Laura. Quelle est la probabilité que Jeanne gagne trois manches, Karim deux et Laura une?

Solution du 4e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est : $(0,0)$, $(1,1)$ et $(2,2)$.

Considérons dans un premier temps une solution vérifiant $x=y$.

Dans ce cas, $x$ satisfait les égalités :

\[\begin{eqnarray*} x^4-2x^3-x^2+2x & = & 0\\ x(x^2-1)(x-2) & = & 0\\ x(x-1)(x+1)(x-2) & = & 0. \end{eqnarray*} \]

Comme $x=y$ est positif ou nul, on obtient les paires $(0,0)$, $(1,1)$ et $(2,2)$.

Considérons maintenant une solution quelconque. Il découle de l’équation vérifiée par $(x,y)$ les égalités :
\[ y= x(y+2y^2-1-x^2y)\qquad \mbox{et}\qquad x= y(x-x^3-1+2xy). \]

Mais les expressions $(x-x^3-1+2xy)$ et $(y+2y^2-1-x^2y)$ sont entières, donc $x$ divise $y$ par la première égalité et $y$ divise $x$ par la seconde. Les nombres $|x|$ et $|y|$ sont alors égaux, et comme $x$ et $y$ sont positifs, on a nécessairement $x=y$.

En fin de compte, les seules solutions sont $(0,0)$, $(1,1)$ et $(2,2)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Décembre 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada -
  • IGOR BATRAKOV / SHUTTERSTOCK

Comentario sobre el artículo

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  • Décembre 2020, 1er défi

    le 5 de diciembre de 2020 à 01:55, par Niak

    Oui, si ce n’est que $\binom{6}{3,2,1} = 60$ et donc le résultat est $\frac{5}{36}$.

    Répondre à ce message

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