Un défi par semaine

Décembre 2021, 3e défi

Le 17 décembre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à travers leur travail, leurs échanges, leur génie mais aussi leurs contradictions, ont construit les mathématiques.

Semaine 50

Trouver tous les nombres à deux chiffres qui sont divisibles par $4$ et pas par $5$, et tels qu’en inversant les deux chiffres, on obtient des nombres divisibles par $5$ et pas par $4$.

Solution du 2e défi de décembre :

Enoncé

La réponse est : 31 ans

Notons $p$ l’âge de Patrick et $d$ la différence d’âge entre eux, de sorte que l’âge d’Arlette est $p+d$.

La première condition se traduit par l’équation $p-3=\frac{3}{4}(p+d-3)$.

Lorsque Patrick avait $\;20$ ans, Arlette avait $\;20+d$ ans.

La seconde condition se traduit alors par $p+3=20+d$.

De la seconde équation, on déduit $p=17+d$, et en réinjectant dans la première équation, on obtient :

\[ \begin{eqnarray*} 17+d-3 & = & \frac{3}{4}(17+2d-3)\\ 4(14+d) & = & 3(14+2d)\\ 14 & = & 2d\\ d & = & 7. \end{eqnarray*} \]

On a alors $p=17+7=24$ ans, et donc $p+d=24+7=31$ ans.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2021, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2021, 3e défi

    le 17 décembre 2021 à 10:50, par ROUX

    Les nombres divisibles par $5$ se terminent par un $0$ ou par un $5$.
    Mais les nombres qui se terminent par un $0$ viennent du renversement de nombres à un chiffre : $70$ vient de $07$ ou donc $7$.
    Je ne retiens donc que les nombres qui se terminent par $5$.
    Ils viennent du retournement d’un nombre à $5$ dizaines divisible par $4$ : $40+12$ ou $40+16$ soit $52$ ou $56$.
    Deux candidats : $52$ et $56$ sont divisibles par $4$ mais pas par $5$.
    $25$ et $65$ sont divisibles par $5$ mais pas par $4$.
    $52$ et $56$.

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