Décembre 2022, 1er défi

Le 2 décembre 2022 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 48

La somme des carrés de trois nombres positifs est $160$. L’un de ces nombres est égal à la somme des deux autres.
La différence entre les deux plus petits nombres vaut $4$. Combien vaut la différence entre les cubes des deux plus petits nombres ?

Solution du 4e défi de novembre 2022 :

Enoncé

Réponse : $5$.

En appliquant la différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique aux nombres $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$, nous obtenons :
\[\frac{a+b+c+d+e}{5}\geq \sqrt{abcde}=\sqrt{1}=1. \]
Ainsi, $a+b+c+d+e\geq 5$.

Cette valeur peut être atteinte avec $a=b=c=d=e=1$. La valeur minimale recherchée est donc $5$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

Commentaire sur l'article

Décembre 2022, 1er défi

le 2 décembre 2022 à 10:08, par François

Soit $a\ge b\ge c\ge 0$, l’énoncé conduit aux 3 équations :
$a^2+b^2+c^2 = 160$
$a=b+c$
$b-c=4$
On en conclut que $a^2+b^2+c^2=(b+c)^2+b^2+c^2=2(b^2+bc+c^2)=160$.
Donc $b^3-c^3=(b-c)(b^2+bc+c^2)=4.80=320$
On aurait pu aussi calculer les valeurs de $a$, $b$, $c$ à partir des 3 équations mais c’est moins élégant.
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