Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Décembre 2022, 3e défi

Le 16 décembre 2022 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 50

Si $\left (a-\dfrac{1}{a}\right )^2 =3$, trouver la valeur de $a^4+\dfrac{1}{a^4}$.

Solution du 2e défi de décembre 2022 :

Enoncé

Notons $abcde$ un tel nombre à cinq chiffres, avec $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$ ses chiffres.

D’après $(a)$, on a $a=b+1$.

L’affirmation $(b)$ nous dit que $e=a-4=b-3$.

De $(c)$, on déduit que $d=e+1=b-2$.

La condition $(d)$ donne alors :
\[ a+b+c+d+e = (b+1)+b+c+(b-2)+(b-3) =4b-4 +c =35. \]

Par conséquent $4b+c=39$, donc $c=39-4b$. On peut écarter les valeurs suivantes du chiffre $b$ : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ et $7$ puisque, pour ces valeurs, $c$ serait un nombre à deux chiffres. Les seules valeurs possibles de $b$ sont donc $8$ et $9$.

Si $b=8$, le nombre est $98\,765$. Si $b=9$, alors $a=10$, ce qui est impossible car $a$ est un chiffre. Par conséquent, l’unique nombre à cinq chiffres vérifiant les conditions est $98\,765$.

Réponse : $98\,765$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Décembre 2022, 3e défi

le 16 décembre 2022 à 10:33, par claude
a⁴+1/a⁴=23

(a-1/a)²=3 -> ((a²-1)/a)²=3
- > (a²-1)²=3a² -> a⁴-5a²+1=0
  Soit x=a²
- > x²-5x+1=0
  Les 2 racines sont :
  x1=(5+√21)/2
  x2=(5-√21)/2
  a⁴+1/a⁴=x²+1/x²
  En remplaçant x1 par sa valeur on trouve x²+1/x²=a⁴+1/a⁴= 23
  De même pour x2, a⁴+1/a⁴=23
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Décembre 2022, 3e défi

le 16 décembre 2022 à 11:09, par Kamakor

$a^2+\dfrac{1}{a^2}-2=(a-\dfrac{1}{a})^2\hspace{1cm}$ donc $\hspace{1cm}a^2+\dfrac{1}{a^2}=3+2=5$

$a^4+\dfrac{1}{a^4}+2=(a^2+\dfrac{1}{a^2})^2\hspace{1cm}$ donc $\hspace{1cm}a^4+\dfrac{1}{a^4}=5^2-2=23$
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Décembre 2022, 3e défi - méthode calculatoire

le 17 décembre 2022 à 18:48, par ArnoMat

Vu les deux autres méthodes déjà publiées, plus astucieuse et rapide. J’ai fait le calcul « brut » en élevant au carré (a-1/a)² pour atteindre le degré 4. La simplification arrive vite pour trouver 23.
Cf. fichier joint (je ne connais que les images insérées pour les fractions...).
Document joint : defimaths_dec22_3.pdf
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