Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Décembre 2022, 4e défi

Le 23 décembre 2022 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 51

Dans ce trapèze isocèle, $AB=9$ cm, $AD=BC=4$ cm et $CD=5$ cm. Combien mesure l’angle marqué ?

Solution du 3e défi de décembre 2022 :

Enoncé

En utilisant une identité remarquable, on a
$a^2-2\frac{a}{a} +\frac{1}{a^2} =3$, c’est à dire, $a^2 +\frac{1}{a^2} =5$.

En élevant au carré cette égalité, on obtient :
\[ \begin{eqnarray*} a^4+2a^2\left(\frac{1}{a^2}\right)+\frac{1}{a^4} &=& 25\\ a^4+2+\frac{1}{a^4} &=& 25, \end{eqnarray*} \]

donc $a^4+\frac{1}{a^4}=23$.

Réponse : 23

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

Commentaire sur l'article

Décembre 2022, 4e défi

le 23 décembre 2022 à 10:01, par Radon

L’angle marqué mesure 60°.

En effet :

Soit E le point de [AB] tel que AE=4 cm.

On a alors EB=5 cm, donc [EB] et [DC] sont parallèles et de même longueur, ce qui indique que EBCD est un parallélogramme. Ainsi, DE=CB=4 cm.

Le triangle ADE est donc équilatéral, ce qui nous donne la réponse annoncée.

Joyeuses fêtes à toutes et à tous.
Bien cordialement,
Radon.
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Décembre 2022, 4e défi

le 23 décembre 2022 à 10:25, par ROUX

Je projette $D$ orthogonalement sur $(AB)$ en $D'$.
$AD'$ vaut $(9-5)/2=2$.
Par la partie $Cah$ du théorème du Président Sarközy de Nagy-Bosca : « $Casse-toi$ (pauvre con) !!! » à prononcer « $CahSohToa$ (pauvre con) !!! », librement traduit du théorème japonais $SohCahToa$, $AD'/AD$ est le cosinus de l’angle marqué qui vaut $1/2$ qui vaut alors $60°$.
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Décembre 2022, 4e défi

le 23 décembre 2022 à 16:26, par Kamakor

Soit $E$ le point du segment $[AB]$ tel que $EB=5$ cm.
Alors $EB=DC$ et, puisque $ABCD$ est un trapèze, on a $(EB)//(EC)$.
Par conséquent, $EBDC$ est un parallélogramme et $DE=CB=4$ cm.
De plus, on sait que $DA=4$ cm et $AE=9-5=4$ cm.
Le triangle $ADE$ est donc équilatéral et $\widehat{DAE}=60^\circ$
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