Les nombres entiers (positifs ou négatifs) se représentent (voir le dessin ci-dessous) sur la droite numérique de manière harmonieuse, se suivant de la gauche vers la droite dans l’ordre croissant, séparés par une distance uniforme.

Lorsque l’on veut comprendre graphiquement une fraction donnée $\frac{p}{q}$ de deux nombres entiers $p$ (appelé le numérateur) et $q$ (appelé le dénominateur [1]), on peut commencer par subdiviser l’intervalle entre $0$ et $1$ en $q$ parties de longueur égales, et en mettre bout à bout $p$ exemplaires, voir le dessin ci-dessous avec $p=7$ et $q=5$.

Bien sûr, les gourmands préfèrent penser à des parts de tartes !

Mais si l’on veut essayer de représenter toutes les fractions de nombres entiers, des problèmes se posent, faisant apparaître des phénomènes intéressants :

• la dichotomie: l’opération de couper en deux parties de longueur égales l’intervalle de départ et de recommencer sur chacun des intervalles obtenus est sans fin (cette division est mathématique, dans le monde physique, on arrive à des obstructions moléculaires !) :

(si l’on part de l’intervalle entre $0$ et $1$, tous les nombres que l’on obtient sont des fractions, mais l’on n’obtient pas toutes les fractions ainsi, seulement celles dont le dénominateur est une puissance de $2$);

• la densité des fractions de nombres entiers dans la droite numérique: en regardant le dessin précédent, on se convainc que tout point de la droite numérique est à distance aussi petite que l’on veut d’une fraction de nombres entiers [2].

Une des possibilités, particulièrement exploitée par Farey [3], est d’essayer de représenter les fractions de nombres entiers en les regroupant par niveau, celles dont le dénominateur est au plus $1$, puis celles de dénominateur est au plus $2$, puis au plus $3$, etc. Nous n’effectuerons les dessins que dans l’intervalle entre $0$ et $1$, ils se répètent sur tous les intervalles entre deux nombres entiers consécutifs [4]. Les premiers niveaux peuvent se dessiner à la main (voir le dessin ci-dessous), le niveau 1 contenant deux fractions, le niveau 2 trois fractions, le niveau 3 cinq fractions, le niveau 4 sept fractions, le niveau 5 onze fractions.

Mais par la suite, il vaut mieux utiliser un ordinateur! Les dessins suivants montrent respectivement les $13$ et les $100$ premiers niveaux de fractions de Farey dans l’intervalle entre $0$ et $1$.

Plusieurs questions apparaissent à la vue de ces dessins.

1. Le nombre de fractions obtenues n’a pas l’air très régulier : seules les fractions où l’on ne peut pas simplifier le numérateur et le dénominateur par un même entier apparaissent. Est-il possible de les compter, ou du moins de donner des estimations sur leur nombre (voir le menu déroulant ci-dessous) ?
2. La répartition de ces points n’a pas l’air très harmonieuse : on a l’impression qu’ils laissent des parties de l’intervalle moins remplies que d’autres, et que les longueurs des intervalles entre deux fractions de Farey de niveau donné est chaotique [5].

L’impression exposée au point 2. ci-dessus s’avère trompeuse (du moins à grande échelle) lorsque l’on essaie de la quantifier de la manière suivante. Commençons notre explication par une analogie physique. C’est un principe de la thermodynamique qu’un gaz (à grand nombre de particules) laissé libre dans une boîte tend à se distribuer uniformément dans la boîte. Il ne viendrait ainsi pas à l’idée à un gaz laissé à lui même de se répartir de la manière du dessin de gauche ci-dessous, en laissant des parties de l’espace ayant une proportion très faible de molécules: il essayera de se répartir au mieux, en occupant les espaces proportionnellement à leur volume, comme sur le dessin de droite ci-dessous.

Nous noterons $[x,y]$ l’intervalle de la droite numérique compris entre les points $x$ et $y$. Intéressons-nous à la proportion des points des niveaux dans un intervalle donné, c’est-à-dire au rapport du nombre de points du niveau dans cet intervalle par le nombre de points total du niveau. Par exemple, dans l’intervalle $[0.24, 0.54]$, pour les niveaux $3$, $5$ et $7$, la proportion est respectivement $0.400$, $0.363...$ et $0.315...$. Comme le montre le graphique ci-dessous, elle semble se rapprocher de la longueur de cet intervalle, qui est $0.3$, quand les niveaux (représentés horizontalement) augmentent.

Rappelons que le niveau $n$ des fractions de Farey est l’ensemble des fractions de nombres entiers $\frac{p}{q}$ dans l’intervalle $[0,1]$ dont le dénominateur $q$ est au plus $n$. Il est effectivement possible de montrer [7] que les niveaux des fractions de Farey s’équidistribuent dans l’intervalle $[0,1]$. Ceci se comprend sur les dessins, car il y a beaucoup de points proches de régions plus blanches que d’autres.

De nombreux résultats plus fins sont connus (donnant en particulier une explication à petite échelle des raisons pour l’impression exposée au point 2. ci-dessus). Mais nous souhaitons maintenant changer de dimension, pour étudier des problèmes de répartition de points dans le plan. Ce qui suit nécessite de parler des nombres complexes.

On représente graphiquement (voir le dessin ci-dessous) le nombre complexe $z=x+y\,i$ comme le point du plan de coordonnées $(x,y)$ (et donc le nombre complexe $i$, racine carrée imaginaire de $-1$ [8], comme $(0,1)$). La première coordonnée $x$ est appelée la partie réelle de $z$, et la seconde coordonnée $y$ est appelée la partie imaginaire de $z$. La distance de $z$ à l’origine du plan est $|z|= \sqrt{x^2+y^2}$. Le nombre complexe conjugué de $z=x+y\,i$ est le point $\overline{z}=x-y\,i$ de coordonnées $(x,-y)$, symétrique de $z$ par rapport à l’axe horizontal.

L’addition des nombres complexes se visualise bien comme l’addition des parties réelles et des parties imaginaires. Mais il est important pour notre propos de nous rappeler qu’il est possible de multiplier un nombre complexe $z$ par un nombre complexe $z'$, en multipliant leurs distances à l’origine et en ajoutant leurs angles avec l’axe horizontal. On peut aussi diviser un nombre complexe $z$ par un nombre complexe $z'$, en divisant leurs distances à l’origine et en soustrayant leurs angles avec l’axe horizontal, du moins quand $z'$ n’est pas le nombre complexe zéro (représenté par l’origine du plan), et on continue d’utiliser la notation $\frac{z}{z'}$ pour désigner le résultat de cette division.

Les entiers de Gauss se répartissent harmonieusement dans le plan, en formant un réseau, comme le montre le dessin ci-dessous.

Comme les nombres entiers usuels, on peut multiplier les entiers de Gauss [10] et former des fractions d’entiers de Gauss $\frac{\bf p}{\bf q}$, qui sont des nombres complexes, où maintenant ${\bf p}$ et ${\bf q}$ sont des entiers de Gauss, avec bien entendu ${\bf q}$ qui n’est pas le nombre complexe zéro.

Mais il est plus délicat que dans le cas de la droite de représenter les fractions d’entiers de Gauss dans leur ensemble. Elles satisfont aussi un principe analogue de densité dans le plan : on peut trouver des fractions de Gauss arbitrairement près de n’importe quel nombre complexe, il suffit par exemple d’appliquer le processus de dichotomie aux deux coordonnées à la fois.

Nous allons nous atteler à représenter les fractions $\frac{\bf p}{\bf q}$ d’entiers de Gauss par niveau. Pour tout entier $n$, le $n$-ème niveau est formé des fractions $\frac{\bf p} {\bf q}$ d’entiers de Gauss, qui sont dans le carré unité de sommets $0,1,i,1+i$, telles que ${\bf q}$ appartienne au disque de rayon $\sqrt{n}$ centré en l’origine du plan. Cette dernière condition signifie que la somme des carrés des parties réelle et imaginaire du dénominateur ${\bf q}$ est au plus $n$. Chaque niveau est fini [11]. Par exemple, le niveau $1$ est formé des quatre points $0,1,i,1+i$; le niveau $2$ est formé des cinq points $0,1,i,1+i, \frac{1}{1-i}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$, ainsi que le niveau $3$; le niveau $4$ est formé des neuf points $0,\frac{1}{2},1,\frac{i}{2},\frac{1}{1-i},\frac{2+i}{2},i,\frac{1+2\,i}{2},1+i$ ; le niveau $5$ est formé de dix-sept points qui, en plus des points du niveau $4$, sont $\frac{1}{2-i},\frac{1}{1-2\,i},\frac{2}{2-i},\frac{2}{1-2\,i},\frac{1+i}{2-i},\frac{1-i}{1-2\,i},\frac{2+i}{2-i},\frac{2-i}{1-2\,i}$, ainsi que les niveaux $6$ et $7$. Pour mieux visualiser les symétries, dans la suite de dessins ci-dessous, respectivement pour les niveaux $n=3$, $n=8$, $n=24$ et $n=99$, nous représentons en fait ces fractions d’entiers de Gauss dans les quatre carrés unités contenant l’origine du plan : en faisant tomber des flocons de neige dans le plan, de jolies dentelles apparaissent. Les couleurs, attribuées en fonction de la distance du dénominateur ${\bf q}$ à l’origine du plan, ne sont essentiellement là que pour des raisons artistiques.

Des observations similaires à celles sur la droite apparaissent :

1. le nombre de points dessinés lorsque le niveau $n$ grandit n’a pas l’air de varier de manière très régulière; de sorte que l’on peut se demander s’il est possible d’estimer le nombre de points dans le $n$-ème niveau des fractions d’entiers de Gauss de manière précise (voir le menu déroulant ci-dessous);
2. à chaque niveau $n$ fixé, le diamètre maximal d’un disque centré en une fraction d’entiers de Gauss, et qui n’en contient pas d’autre, a l’air de varier de manière chaotique; des régions plus blanches que d’autres apparaissent.

Malgré l’impression décrite dans le point 2. ci-dessus, les fractions d’entiers de Gauss satisfont néanmoins la propriété des gaz parfaits à l’équilibre, de répartition proportionnelle à l’aire : pour tout carré contenu dans le carré unité de sommets $0,1,i,i+1$, la proportion des points du $n$-ème niveau des fractions d’entiers de Gauss qui sont dans ce carré devient arbitrairement proche, quand $n$ devient grand, de l’aire de ce carré [13]. Ceci se comprend sur les dessins, car il y a beaucoup de points proches de régions plus blanches que d’autres.

Dans le plan, d’autres généralisations des nombres entiers sont possibles, nous ne nous intéresserons ci-dessous qu’aux entiers d’Eisenstein, c’est-à-dire aux nombres complexes de la forme $a+b\,j$ où $j=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ et $a,b$ sont des nombres entiers usuels. Comme pour les nombres entiers et les entiers de Gauss, la multiplication de deux entiers d’Eisenstein est encore un entier d’Eisenstein [14]. L’étude de la répartition des fractions d’entiers d’Eisenstein s’effectue de manière simultanée à celle pour les entiers de Gauss, et nous renvoyons donc aux mêmes références. Nous concluons cet article par deux dessins représentant pour $n=24$ et $n=99$, les fractions $\frac{\bf p}{\bf q}$ d’entiers d’Eisenstein, qui sont contenus dans le carré de sommets $1+i, -1+i, -1-i, 1-i$, et telles que la distance du dénominateur ${\bf q}$ à l’origine du plan est au plus $\sqrt{n}$.

Une analyse plus fine, permettant d’estimer de manière optimale la vitesse d’équidistribution et les fluctuations liées à l’absence apparente d’uniformité dans cette équidistribution, fait partie des problèmes actuels de recherche.