Distorsion d’une courbe

Jojo l’escargot et Lulu la libellule habitent sur un nœud de trèfle, une belle courbe qui dessine trois pétales avant de se refermer sur elle-même. Pour aller d’un point à un autre, Jojo glisse le long de la courbe, tandis que Lulu peut voler en ligne droite. Leur façon de mesurer les distances est donc très différente.

Dans la vidéo ci-dessus, par exemple,
Lulu n’a que 3cm à parcourir pour aller d’un point rouge à l’autre ; pour Jojo, par contre, la distance le long de la courbe entre ces deux mêmes points est égale à 36cm environ. On évalue leur désaccord en calculant le rapport entre la distance mesurée du point de vue de Jojo, d’une part, et la distance mesurée du point de vue de Lulu, d’autre part : ce rapport est ici égal à 36/3 = 12. On a choisi justement dans la vidéo de représenter les deux points de la courbe pour lesquels leur désaccord est au maximum : pour tout autre choix de deux points, le rapport des deux mesures de distance est plus proche de 1. On dit que le nombre 12 est la distorsion de la courbe sur laquelle habitent Jojo et Lulu.

Jojo préfèrerait habiter sur une courbe où les distances sont les mêmes le long de la courbe ou à vol d’oiseau. Un instant de réflexion lui permet de se convaincre que ça n’est possible que sur une droite ou un segment. Mais les résidences en forme de droite coûtent infiniment cher, et les segments sont dangereux (on tombe quand on arrive au bout !). Quand même, il doit bien y avoir des courbes qui se referment sur elles-mêmes et dont la distorsion est plus petite que 12 ?

Et s’ils habitaient sur un cercle ? Le pire adviendrait pour deux points diamétralement opposés. Pour Lulu, ces points seraient à une distance égale au diamètre, tandis que pour Jojo leur distance serait égale à la moitié du périmètre ; puisque le périmètre d’un cercle est égal à son diamètre multiplié par le nombre $\pi$, le rapport des deux distances mesurées vaut la moitié de $\pi$. La distorsion du cercle est donc égale à la moitié de $\pi$, soit environ 1,57, ce qui serait quand même beaucoup mieux que pour le nœud de trèfle !

— Allons-y, dit Jojo : un coup de scie, quelques coups de marteau et un peu de colle, et je me fais fort de transformer notre demeure en un magnifique cercle !

Distorsion d’un nœud

Mais Lulu, qui a retrouvé leur contrat de location, tempère les ardeurs de l’escargot : il y est stipulé que si les travaux de déformation sont autorisés, l’usage de la scie est rigoureusement interdit.

— Tant pis ! Cherchons quand même, parmi toutes les courbes qu’on pourrait obtenir en déformant notre nœud de trèfle sans le déchirer, celle qui a la plus petite distorsion.

Plus facile à dire qu’à faire ! Les petites déformations semblent plutôt augmenter la distorsion, mais comment être certain qu’il n’y a pas une déformation astucieuse qui amènerait à une courbe moins distordue ?

32coniques

La vidéo ci-dessus montre un nœud qui se déforme. A chaque instant, on a indiqué la distorsion du nœud, et colorié en rouge les deux points pour lesquels le désaccord entre Lulu et Jojo serait maximal. Dans cette vidéo on voit plusieurs choses remarquables.
Tout d’abord les déformations peuvent changer beaucoup l’allure d’un nœud : aviez-vous reconnu un nœud de trèfle déformé au début de la vidéo ? Ensuite on voit que la paire de points de désaccord maximal peut sauter subitement d’une région du nœud à une autre.

Le jour s’achève et nos deux amis s’endorment sans avoir résolu leur problème.
Lorsque Jojo se réveille au milieu de la nuit en poussant un cri, Lulu lui demande s’il a encore rêvé qu’il tombait d’un segment.

— Non, c’était bien plus horrible ! Je me réveillais le matin, et notre nœud de trèfle était encore plus noué que la veille au soir !!

— Comment ça, encore plus noué ?

— Comme sur ce dessin, regarde...

— Je me souviens de cette maison, je la trouvais sympa mais toi pas trop... Dans le catalogue, ils appelaient ça un « nœud torique (3,4) ». Comme tu peux le voir sur l’animation ci-dessous, on peut la dessiner sur une bouée.
La courbe fait trois tours autour du trou de la bouée, et s’enroule quatre fois autour du boudin ; les mathématiciens appellent la bouée un « tore », et disent que la courbe fait « trois tours dans une direction et quatre dans l’autre ». D’ailleurs il y avait aussi des résidences modernes en forme de nœuds toriques (4,5), et même des (5,6) en construction, je crois...

— Tu viens de me donner plein de matière pour mes futurs cauchemars !!

Les nœuds toriques (4,5), (5,6), (6,7).

Tandis que Lulu se rendort, Jojo, hanté par le spectre d’une demeure plus tordue que leur nœud de trèfle, ne peut fermer l’œil. Il s’imagine chaque matin, au réveil, découvrant que leur résidence s’est nouée encore un peu plus que la veille, passant du nœud de trèfle au nœud torique (3,4), puis (4,5), (5,6), et ainsi de suite… Chaque jour il se demande s’il est possible de diminuer la distorsion de sa nouvelle demeure en la déformant, mais il ne trouve pas de réponse, et la distorsion s’accroît inexorablement !

Le lendemain, Lulu décide d’aider Jojo à se débarrasser de ses angoisses. Pour ça, elle voudrait apprendre ce que les mathématiciens savent sur la distorsion de ces courbes. Lulu connait bien le site Images des maths ; au milieu d’un texte un peu étrange, elle tombe pile sur les explications qu’elle cherchait :

Que sait-on de la distorsion ?

Il faut bien l’avouer : les mathématiciens ont du mal à obtenir des résultats précis sur la distorsion des nœuds. Voici quand même quelques certitudes, et quelques questions.

Le cercle est la courbe la moins distordue (ici, et dans la suite, on se restreint aux courbes qui se referment sur elles-mêmes, comme un cercle ou un nœud de trèfle, qu’on appelle des courbes fermées). Voici une autre façon de dire la même chose : prenez n’importe quelle courbe qui n’est pas un cercle, alors vous allez pouvoir trouver deux points sur cette courbe pour lesquels le rapport des distances
\[ \frac{\mbox{distance le long de la courbe}}{\mbox{distance à vol de Libellule}} \]
est strictement plus grand que la moitié de $\pi$, soit environ 1.57. Ce résultat de Mikhaïl Gromov est apparu dans un livre publié en 1981. La démonstration est astucieuse, mais elle est accessible aux étudiants de première année d’université. [1]

Si une courbe est nouée, c’est-à-dire s’il n’est pas possible de la déformer en un cercle sans la couper, alors sa distorsion est au moins égale à
\[ \frac{5}{3}\pi \simeq 5.23... \]
Ce résultat a été démontré par Elizabeth Denne and John M. Sullivan en 2009.

Parmi les courbes que l’on peut obtenir en déformant le nœud de trèfle, quelle est celle qui est la moins distordue ? Ceci est une question difficile, et à notre connaissance elle n’est pas résolue. Pour y répondre, il faudrait contrôler la distorsion de toutes les déformations possibles de notre nœud. L’une des difficultés vient du fait qu’on n’a aucune information a priori sur la géométrie de la courbe qui serait la moins distordue ; il se pourrait que son allure à petite échelle soit très compliquée. [2]

Pour les mêmes raisons, la question suivante, posée par Mikhaïl Gromov dans un article de 1983, est difficile :

Ou, au contraire, existe-t-il une courbe dont la distorsion soit plus grande que 100, et reste plus grande que 100 lorsqu’on la déforme ?

Pour les mathématiciens, la question de Gromov est irritante et déconcertante. Elle est suffisamment simple à poser pour donner l’illusion qu’on va pouvoir y répondre facilement. Mais on ne sait pas par quel bout la prendre, parce qu’elle ne se laisse pas enfermer dans une théorie bien identifiée. Explorer toutes les déformations d’une courbe donnée, c’est le domaine de la topologie, l’étude des formes « molles », les mathématiques du caoutchouc en quelque sorte. Mais pour chacune des courbes déformées, il faut estimer la distorsion, qui est une grandeur géométrique, c’est-à-dire qu’elle met en jeu les distances entre les points de la courbe. La question mélange géométrie et topologie, elle échappe aux théories existantes, et sa résolution va demander une bonne dose d’astuce et d’imagination... et un peu de temps !

Les nœuds très distordus de John Pardon

Après avoir résisté pendant près de trente ans, la question de Gromov a été résolue par John Pardon, dans un article mis en ligne en 2010 et publié en 2011 [3]. Dans cet article, Pardon démontre en particulier que si l’on dessine, sur la surface d’une bouée, un nœud qui fait « 16000 tours (!!) dans un sens et 16001 tours dans l’autre sens », alors on ne pourra jamais le déformer pour obtenir une distorsion inférieure à 100. Plus généralement, si on part du nœud torique (p,p+1), quelle que soit la déformation, la courbe obtenue aura toujours une distorsion supérieure à
p/160. Il faut voir cette estimation comme un résultat « asymptotique » : sur le nœud de trèfle, qui n’est rien d’autre que le nœud torique (2,3), l’estimation de John Pardon est 1/80, ce qui n’apporte aucune information puisque la distorsion de n’importe quelle courbe est supérieure à un. Par contre, plus le nombre de tours p est grand, plus l’estimation est intéressante ; au-delà de la réponse à la question de Gromov (et de son nombre « 100 » un peu provocateur), cet article nous apprend qu’il existe des nœuds dont la distorsion est aussi grande que l’on veut.

Pour ces résultats, John Pardon a été récompensé par le prix Morgan, décerné par l’American Mathematical Society « for outstanding research in mathematics by an undergraduate student » (recherche mathématique exceptionnelle faite par un étudiant en Licence). L’article de John Pardon est loin d’épuiser le sujet : comme il le dit lui-même, il est très plausible que la distorsion des nœuds toriques (2,q), qui font donc beaucoup de tours dans un sens et seulement deux dans l’autre, devienne arbitrairement grande lorsque q est très grand (ci-dessous, un nœud torique (2,15)). Mais ceci reste à démontrer... Avis aux amateurs !

Les lecteurs intéressés pourront trouver deux ingrédients de la démonstration de John Pardon dans le bloc dépliant qui suit.

Deux ingrédients de démonstration

Partant d’un nœud torique (disons (3,4) pour les illustrations), on veut démontrer qu’aucune déformation de ce nœud ne peut abaisser la distorsion en dessous d’un certain seuil explicite. On note tout d’abord qu’une telle déformation s’accompagne d’une déformation du tore sur lequel se situe le nœud, comme sur la figure ci-contre.

On cherche donc des informations sur cette situation qui survivent aux déformations : il s’agit de faire de la topologie.

Premier ingrédient : de la topologie

Les deux images suivantes montrent deux disques. Le premier, en bleu, est entièrement situé à l’extérieur du tore ; le second, en rouge, est entièrement à l’intérieur ; chacun d’eux est bordé par un cercle qui est tracé sur la surface du tore, et qui rencontre notre nœud torique, dessiné en vert, en 4 points pour le premier et 3 points pour le second. Imaginons maintenant qu’on déforme le disque bleu à l’extérieur du tore, en autorisant son bord à glisser à la surface du tore qui reste immobile. Alors le bord du disque déformé ne pourra jamais rencontrer moins de quatre points de notre courbe verte. L’animation qui suit montre le bord d’un disque bleu déformé, qui rencontre notre nœud torique en six points, le disque apparaissant progressivement.

D’autre part, le nombre de points d’intersection entre un tel disque bleu et la courbe verte ne change évidemment pas lorsqu’on fait subir une déformation à l’ensemble du dessin : il s’agit d’un « invariant topologique ». Les mêmes considérations sont valables pour les déformations du disque rouge.

Second ingrédient : de la géométrie

Le principal ingrédient géométrique est une borne inférieure sur la longueur d’une courbe donnée. Choisissons un point de l’espace, et considérons la sphère de rayon $R$ autour de ce point (attention, la sphère est la surface de la boule, il s’agit des points dont la distance au centre est exactement $R$, et non pas des points qui sont à distance inférieure ou égale à $R$). Cette sphère rencontre notre courbe en un certain nombre de points, notons ce nombre $N(R)$. Faisons maintenant la moyenne de tous les nombres $N(R)$ lorsque $R$ varie entre $0$ et une longueur fixée $R_0$. On obtient ainsi un nombre $N$ qu’on peut appeler « moyenne des nombres d’intersections de la courbe avec les sphères ». Alors la portion de courbe qui est dans la boule de rayon $R_0$ a une longueur au moins égale au produit $N \times R_0$.

Dans le cas le plus simple, par exemple, notre courbe serait un segment issu du centre et de longueur $R_0$. Dans ce cas, chaque sphère de rayon $R$ rencontre le segment en un seul point, le nombre moyen vaut donc $N=1$, et le produit $N \times R_0$ vaut $R_0$, qui est exactement la longueur de notre rayon.

Expliquons pourquoi la longueur est au moins $N \times R_0$.
Les mathématiciens définissent la moyenne à l’aide du concept d’intégrale ; notre borne inférieure s’écrit donc, de façon très condensée,

\[ \mathrm{Longueur}(\gamma \cap B(0,R_0)) \geq \int_0^{R_0} \mathrm{Card}(\gamma \cap S(0,R)) dR \]
où B(0,R) et S(0,R) désignent respectivement la boule et la sphère de rayon $R$.
Cette estimation fait partie de ce qu’on appelle la géométrie intégrale.

Examinons pourquoi cette formule est vraie dans le plan (pour simplifier les dessins). La figure ci-contre montre une courbe dans un grand disque de centre O. On a dessiné tous les cercles de centre O qui ont un point de tangence avec la courbe.

Ces cercles découpent le disque contenant la courbe en un petit disque et trois d’anneaux concentriques, et ils découpent aussi la courbe en huit morceaux. Il y a par exemple deux morceaux de courbes qui joignent le cercle de rayon $r_1$ au cercle de rayon $r_2$ ; comme le moyen le plus court de joindre ces deux cercles est de parcourir un serment de longueur $r_2-r_1$, chacun de ces deux morceaux a une longueur au moins égale à $r_2-r_1$, ainsi la portion de la courbe dans cet anneau a une longueur au moins égale à $2\times (r_2-r_1)$. De la même façon, la portion entre les cercles de rayon $r_2$ et $r_3$, qui est faite de quatre morceaux, a une longueur égale au moins à $4\times (r_3-r_2)$, et celle qui est située dans le dernier anneau a une longueur au moins égale à $2\times (r_4-r_3)$. En recollant tous les morceaux, on voit que la longueur totale de notre courbe est au moins
\[ 2\times (r_2-r_1) + 4\times (r_3-r_2) + 2\times (r_4-r_3), \]
qui est exactement le nombre moyen d’intersections calculé par l’intégrale ci-dessus.

Mélangeons les deux ingrédients !

Un anneau, comme celui de la planète Saturne, peut être dessiné sur un plan.
Un cylindre peut être déformé en un anneau, c’est pourquoi un topologue le qualifiera également de « planaire ».
Par contre le tore, c’est-à-dire la surface d’une bouée, n’est pas un ensemble planaire. Lorsqu’on fait un certain nombre de (petits) trous dans un tore, on obtient un tore troué qui ne peut toujours pas être déformé sur une portion de plan : il n’est pas planaire. Mais si l’on découpe un tore le long d’un cercle qui en fait le tour, ou obtient un cylindre tordu, qui est planaire.

Considérons maintenant un tore déformé, déformé mais immobile. Prenons une boule qui le contient, et regardons ce qui se passe lorsqu’on diminue le rayon de la boule, et qu’on supprime les morceaux du tore qui se retrouvent à l’extérieur de la boule.
On se retrouve d’abord avec un tore troué ; bientôt un certain nombre de morceaux planaires peuvent se former (voir l’animation).
Continuous à diminuer le rayon de notre boule, à un moment le tore troué disparaît, et on se retrouve seulement avec des ensembles planaires.

À l’aide des deux ingrédients ci-dessus et de beaucoup d’astuce, John Pardon montre qu’une distorsion plus petite que p/160 pour n’importe quelle déformation donnée du nœud torique (p,p+1), impliquerait l’existence de boules arbitrairement petites dont l’intersection avec le tore déformé contiendrait une composante non planaire, ce qui n’est pas possible. Ainsi la distorsion est contrôlée.

Epilogue

— Waouh.

— Waouh.

— Waouh. Oui, Lulu. C’est magnifique.

— Alors Jojo, quand tu disais que tu voulais une demeure moins distordue…
Tu ne pensais pas qu’on en trouverait une sans la moindre distorsion, non ?

— Ah ça, non !

— Ta libellule a assuré, ou elle a assuré ?

— Elle a assuré. L’agent immobilier était scotché quand tu lui as dit qu’on voulait habiter une géodésique fermée dans un espace non euclidien…

— Et voilà, un grand cercle de la sphère $\mathbb{S}^3$, pour nous tous seuls !

— Entre deux points quelconques, le plus court chemin est le long de notre cercle. Ta distance à toi, libellule, est exactement la même que ma distance à moi, escargot. Pour aller en un point opposé tu as plein de possibilités alors que je n’en ai qu’une, mais tous tes chemins ont la même longueur…

— Distorsion égale à un !

— Finis les cauchemars ! Dans cette demeure de rêve, notre couple va sûrement tenir la distance…