Introduction sociologique : les math comme magie ?

Quand il s’agit d’expliquer ce que sont les mathématiques à des adolescents, on est toujours confronté à la difficulté d’identifier un sujet qui

• est assez simple pour qu’ils le comprennent,
• est assez sophistiqué pour les intéresser.

La plupart du temps on tombe à côté et

• soit on leur explique comment résoudre un problème de manière un peu alambiquée, alors qu’ils lui trouvent, dans la vie courante, une solution approchée satisfaisante, et ils sont donc moyennement intéressés par nos explications, c’est le tour de prestidigitation d’un vendeur de foire dont on voit les grosses ficelles ;
• soit la question les intéresse, c’est un problème qu’ils ne savent pas résoudre et dont la solution est désirable, mais la technique est hors de portée, cela reste de la magie complète pour eux, avec son lot d’incantations de formules incompréhensibles et l’invocation de puissants sorciers.

Croix celte

GPL Andreas F. Borchert wikimedia

La topologie et la théorie des nœuds de base permettent d’exposer un peu de la démarche du mathématicien comme magicien « à portée de main », qui rend possible des choses auparavant impossibles et les explique. Il y a du jeu, il y a la fierté de comprendre et reproduire « le truc » du prestidigitateur.

La fascination pour les entrelacs est immédiate quand on en voit. Il faut un œil exercé pour appréhender les subtilités des motifs. C’est ce que la plupart des jeunes recherchent dans ces T-shirts, tatouages et bijoux : ça donne l’air ténébreux d’un initié.

Mosaïque de la Ca d’Oro, Venise

© Collection privée

Quand on dit qu’on maîtrise l’art de leur création, ils vous regardent comme un prêtre en chaire. Mais quand on ajoute que des mathématiques élémentaires permettent d’expliquer cette technique, beaucoup prennent peur. Cette peur a à voir avec la peur du curé qui vous promet l’enfer du redoublement si vous ne récitez pas pieusement votre table de multiplication. Il faut réussir à les convaincre que les mathématiques ne sont pas de la magie noire et qu’ils peuvent eux aussi apprendre, gagner de l’aura auprès de leurs amis et tout bêtement se faire plaisir. De fait, après avoir été initiés, ils entrevoient l’aspect explicatif et performatif des mathématiques, qui rendent plus simple quelque-chose d’apparemment complexe.

Le livre de Kells est une bible irlandaise enluminée du 8ème siècle.

Entrelacs et graphes

Le tour de passe-passe pour dessiner de beaux entrelacs est de remplacer cette structure compliquée de brins dessus-dessous par une beaucoup plus simple, un graphe. Un graphe c’est simplement des points (on les appelle sommets) reliés par des traits (on les appelle arêtes). Les graphes sont faciles à reproduire, déformer et inventer. Chaque graphe « code » un entrelacs. En termes savants, il y a bijection entre les projections régulières d’entrelacs et les graphes planaires à arêtes signées. Quelle est-elle et comment on s’en sert, telle est la question que nous allons expliquer.

L’idée pour passer d’un graphe à l’entrelacs est de placer un croisement au milieu de chaque arête, de relier ces brins les uns aux autres à l’aide d’un algorithme du type labyrinthe, de décider des dessus-dessous à l’aide d’un guide et finalement d’embellir le tout.

Frise

Sur une image, toute la méthode : du graphe aux croisements, aux chemins, aux dessus-dessous et à l’épaississement.

Trèfle

Le triangle est associé au nœud de trèfle

Par exemple le graphe très simple composé de trois sommets arrangés en un triangle est associé au nœud de trèfle, le nœud le plus simple qui soit quand même noué (savoir si un nœud est vraiment noué n’est pas facile !).

Un croisement par arête

Considérez donc un graphe simple, de 5 à 10 sommets, dont les arêtes sont toutes à peu près de tailles comparables, par exemple un carré avec deux triangles sur chaque côté.

Placez ensuite un croisement au milieu de chaque arête, bien au milieu, d’une bonne taille et placé correctement, chaque brin à peu près à 45° par rapport à l’arête. Il y a plusieurs façons de ne pas faire du bon travail, en faisant un croisement trop petit, pas au milieu, mal orienté, ou des brins qui ne se croisent pas. Mais il n’y a qu’une façon de bien faire : bien au milieu, d’une bonne taille et orienté correctement.

Sur chaque arête un croisement et chaque croisement au milieu d’une arête

Le fil d’Ariane

Ensuite il s’agit de relier ces brins les uns aux autres. La technique est simple : imaginez que votre graphe est un labyrinthe dont les arêtes sont des murs, qu’on ne peut pas traverser, sauf au milieu, là où il y a un croisement au milieu d’une porte. Considérez donc un brin libre ; si son croisement est correctement orienté, il pointe dans une direction bien définie ; suivez le mur dans cette direction, en le touchant d’une main et en tenant votre brin dans l’autre.

Le labyrinthe 1

Un brin libre pointe dans une direction, suivez la !

Suivez le mur, tournez au coin, suivez le mur, jusqu’à arriver au milieu de l’arête suivante, où un croisement a lieu, un des quatre brins pointe vers vous, c’est là qu’il faut se brancher. Faites bien attention qu’un brin ne coupe une arête qu’en son milieu, il n’y a pas de « passe-muraille ». Les brins restent également « près » d’une arête, vont d’un croisement au suivant, sans en oublier. N’introduisez pas non plus de nouveaux croisements, tous les croisements ont été dessinés à l’étape précédente.

Le labyrinthe 2

Pour relier les brins entre eux, suivez le mur, tournez au coin, suivez le mur.

Sur chaque arête un croisement et chaque croisement au milieu d’une arête

Quand vous avez compris la trajectoire d’un brin, redessinez le bien jusqu’à ce que vous compreniez bien qui va où. Les angles des croisement peuvent varier quelque peu, cependant, gardez bien les croisements au milieu des arêtes.

Suivez le guide

Il faut maintenant décider des dessus-dessous. Il s’agit de modifier le croisement des deux chemins en un « pont » avec une route qui passe dessus et une autre qui passe dessous, chacune avec leurs trottoirs de chaque côté.

Le guide

Alignez son arête avec celle de votre graphe et le guide vous dira qui va dessus et qui va dessous.

Dessinez le guide ci-contre sur un petit carré de papier, de la taille moyenne des arêtes de votre graphe et découpez le. De cette manière vous pouvez résoudre un croisement donné en plaçant le guide sur le croisement, de telle manière à aligner son arête avec celle de votre graphe. Les deux brins issus du croisement sont associés à chaque brin du guide et permettent de comprendre lequel des deux est dessus et lequel est dessous.

Remarquez que le guide ne change pas si vous le tournez d’un demi-tour. Par contre, si vous retournez votre papier et que vous le regardez en transparence, vous avez un autre guide, qui lui est symétrique, de la manière que votre main gauche est symétrique de votre main droite. Un entrelacs où un seul type de croisement intervient s’appelle un entrelacs alterné, chaque brin passe tour à tour au-dessus, puis en-dessous. Tous les entrelacs ne sont pas alternés, par exemple le nœud plat des marins n’est pas alterné. Vous pouvez, sur un même dessin, faire figurer les deux types de croisement en choisissant par exemple de dessiner cet autre type à l’aide d’un trait tireté et non pas plein.

Dessinez ensuite les dessus-dessous comme les trottoirs gauche et droite d’une route d’une bonne largeur (1/4 d’une arête environ). Faites attention que si la « route » tourne, les trottoirs doivent la suivre ! Une fois que vous avez dessiné chaque pont, vous pouvez prolonger ces « trottoirs » et les relier tous ensemble.

Vous pouvez vous exercer sur des graphes simples comme les suivants :

Exemples simples

Les murs

Si tout va bien, vous êtes actuellement en train de gribouiller des graphes partout et produisez de beaux entrelacs... et d’autres qui ne sont pas si beaux. En particulier, pour couvrir de grandes zones, comment faire ?

Vous pouvez essayer de vous appuyer sur des portions de réseaux, carré, triangulaire ou hexagonal ; ces deux derniers donnent des résultats semblables, on comprendra plus tard pourquoi. Ces tresses sont plus ou moins serrées suivant le réseau, mais de manière générale les entrelacs associés sont assez décevants car ils sont trop réguliers.

Échelle de triangles

Les portions de réseau sont un peu trop tranquilles.

Une petite curiosité à noter cependant : si vous considérez un rectangle composé de carrés, avec pxq sommets, combien a-t-il de brins différents ? S’il n’y a qu’un sommet, c’est un cercle simple autour du sommet, le nœud trivial, soit une composante. Avec 2 sommets (une seule arête), c’est un 8 avec toujours une seule composante. De manière générale, 1xq donne une bête tresse à un seul brin. 2x2 est un symbole choisi par une tribu Masaï du Kenya, plus connu sous le nom « nœud de Salomon », composé de deux ovales imbriqués. De manière générale, 2xq donne une ou deux composantes suivant que q est impair ou pair. Si maintenant on prend 3x3, on a 3 composantes, un cercle et deux diagonales ovales. Quelle est donc cette fonction de p et q ? C’est le Plus Grand Commun Diviseur $p\,\wedge\, q$ bien-sûr !

Pour plus de variété, il nous faut déranger le réseau, par exemple en oubliant certaines arêtes. Notez comme l’omission d’un barreau sur trois à l’échelle de triangles modifie profondément son allure :

Mais le problème de ne pas tracer telle ou telle arête est que, après quelques coups de gomme, vous ne savez plus si cette arête est absente à dessein ou simplement à cause d’un gommage de trop... Pour signifier qu’une arête ne devrait pas être là, prenons la convention de faire figurer l’arête et de la barrer en travers. Tant qu’à empêcher un croisement, on se dit qu’on peut l’empêcher dans l’autre sens, en « fermant » l’arête, ce qu’on notera en épaississant l’arête. Du point de vue du graphe cela revient à identifier les deux sommets de l’arête en un seul, à « délocaliser » le sommet en deux endroits, c’est une modification métrique et non pas topologique, c’est souvent utile pour avoir un graphe « qui se tient bien » sans arêtes tordues.

Nous avons maintenant 4 types d’arêtes, ce qui permet une grande variété de motifs, même sur la base du réseau carré, le préféré des moines irlandais. En ce qui concerne le travail de ces moines, j’ai eu la chance de voir l’original du livre de Kells à la bibliothèque du trinity college à Dublin, et on peut remarquer les traits de construction des enlumineurs. Ils travaillaient vraisemblablement sur deux graphes en même temps, que nous introduirons un peu plus loin, la paire primal/dual.

Arête épaissie : porte fermée

Entrelacs en boîte

Vous avez surement essayé de combiner deux entrelacs qui vous plaisaient et le résultat vous a peut-être étonné, n’ayant pas grand chose à voir avec les originaux. Vous arriverez fatalement à la question de savoir comment on fait pour faire figurer tel motif qui vous a bien plu à tel endroit, en les mélangeant juste ce qu’il faut pour les unifier sans pour autant leur faire perdre leur caractère.

La solution tient dans la construction du graphe dual :

Le dual d’un graphe est un autre graphe qui lui est associé. On le définit par ses sommets et ses arêtes de la manière suivante : Il y a un premier pas à franchir pour définir vraiment la dualité, c’est de penser à votre graphe de départ (qu’on appelle le graphe primal quand on veut briller en société) comme vivant non pas sur le plan mais sur la sphère. Il n’y a alors plus de face extérieure infinie, c’est une face comme les autres. Placez (au jugé), un sommet dual « au centre » de chaque face, y compris la face qui avant était de taille infinie. Maintenant, pour chaque arête du graphe de départ, séparant donc deux faces primales, c’est-à-dire deux sommets duaux, tirez une arête duale entre ces deux sommets.

Oubliez le graphe primal et vous avez ainsi construit son dual.

Cette construction permet de « mettre en boîte » votre entrelacs : Ramenez votre graphe de la sphère au plan. Chaque arêtes vers le point à l’infini est devenue une demi-droite. Arrêtez la simplement en positionnant un sommet à l’extérieur de votre graphe de départ, symétrique par rapport à l’arête au-dessus de laquelle vous passez. Reliez tous ces points extérieurs ensemble par des arêtes fermées, un « mur d’enceinte » entourant votre motif. Souvenez vous que relier deux sommets par une arête fermée correspond à « délocaliser » ce sommet en deux.

La face infinie est projetée sur le pôle Nord de la sphère

Dual du triangle

Le trèfle tient dans un triangle avec une petite étoile triangulaire en son centre, en fait un bout d’un réseau hexagonal.

C’est un aspect d’une notion plus générale, que les mathématiciens appellent la dualité de Poincaré. Vous avez maintenant un graphe, dans une boîte, et son entrelacs associé est le même que celui du graphe de départ, deux graphes pour un entrelacs.

Croix composée de quatre trèfles

Pour utiliser vos motifs préférés, mettez les en boîtes puis pavez votre espace avec ces boîtes. Recopiez à l’intérieur de chaque boîte le graphe dual du motif. Si vous ne faisiez rien, vous auriez une juxtaposition de vos motifs. Il faut donc les mélanger, sans pour autant qu’ils perdent leur individualité. Pour cela, ouvrez quelques murs d’enceinte, juste assez pour que les entrelacs se mélangent sans en ouvrir trop pour qu’ils restent reconnaissables. C’est un équilibre à trouver pour un mariage réussi. On peut par exemple faire une croix avec quatre trèfles, puis encore une croix avec cette croix... Amusez vous bien !

Construire le graphe et son dual en même temps, comme faisaient les moines irlandais, a un grand avantage, on peut « calibrer » finement la taille du brin puisqu’il doit louvoyer entre les sommets du graphe autour duquel il tourne (souvenez vous de « je suis le mur, je tourne au coin, je suis le mur ») et les sommets du graphe dual qui sont tout autant légitimes. En ce qui concerne la dernière étape de l’enluminure les moines irlandais ne peignaient l’entrelacs lui-même que d’une couleur très pastel, par contre couvraient les sommets du graphe de construction avec une bonne couche de peinture opaque.

Copie

Créer ses propres motifs à partir de plus petits qu’on compose est donc possible, mais vous pouvez être à court d’inspiration ou vouloir « rendre un hommage » à tel ou tel artiste ; attention, les mathématicien(ne)s peuvent être très susceptibles en ce qui concerne la maternité ou paternité de leurs découvertes et il en est surement de même des dessinateurs, éditeurs ou tatoueurs :-)

Comment donc reconnaître, sous un entrelacs compliqué que vous avez là devant les yeux, avec tous ses dessus et tous ses dessous, le simple graphe associé ? Il suffit de prendre la construction à l’envers : vous avez les croisements, c’est-à-dire les arêtes, trouvez les sommets !

Meuble par Joseph Savina

Collection privée de la famille

Graphe extrait

Voici comment procéder : choisissez un bout de brin près du bord, une oreille de chat à l’irlandaise dans un coin. Visualisez mentalement toute la zone que ce brin libre entoure. Mettez en son centre un point, premier sommet de votre graphe. Identifiez tous les croisements qui sortent de cette zone, tirez une arête au-dessus de chacun de ces croisements et placez un nouveau sommet au centre de la zone où elle atterrit. Ces arêtes peuvent être un peu tordues, les sommets peuvent ne pas être trop au centre, ce n’est pas bien grave. De chacun de ces nouveaux sommets, recommencez cette méthode, tirez une arête au-dessus de chaque croisement, jusqu’à ce que tous les croisements aient leur arête. Plissez un peu les yeux, rectifiez les arêtes pour les rendre plus droites, repositionnez les sommets, délocalisez les en plusieurs sommets reliés par un mur si nécessaire.

Références :

• Aidan Meehan Celtic Design

• Michel Le Gallo Motifs Bretons et Celtiques

• Tutoriel

• Théorie des nœuds et enluminure celte L’Ouvert N° 84 - SEPTEMBRE 1996

• Nœuds d’Alexei Sossinsky au Seuil 1997

• Knots and Links de Dale Rolfsen, Publish or Perish, 1976